Un défi par semaine

Janvier 2015, 2e défi

9 janvier 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (15)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 2 :

Le nombre de bonbons qu’Anna a dans son sac est un nombre à deux chiffres. Anna calcule la somme de ces deux chiffres et retire autant de bonbons de son sac. Elle recommence l’opération jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un nombre à un seul chiffre de bonbons. Combien en reste-t-il ?

Solution du 1er défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $28$.

La somme des chiffres de l’année $2015$ est toujours égale à $8$. Le mois comptant le plus est le mois de septembre, où l’on trouve $9$. La plus grande somme possible pour le jour est $2+9=11$. Le plus grand nombre est obtenu le $29/9/2015$ et vaut $2+9+9+2+1+5=28$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2015, 2ème défi

    le 9 janvier 2015 à 08:32, par Bernard Hanquez

    Il reste 9 bonbons.

    Pourquoi ?

    L’énoncé étant supposé correct, la réponse est donc indépendante du nombre de bonbons au départ. Il suffit alors de faire le calcul pour un nombre de bonbons arbitraire, 12 par exemple. Il reste 12 -(1+2) = 9 bonbons.

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  • Janvier 2015, 2ème défi

    le 9 janvier 2015 à 08:33, par ROUX

    Neuf.

    Très joli !

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  • Janvier 2015, 2ème défi

    le 9 janvier 2015 à 08:36, par gedspilett

    Bonjour

    Soit le nombre à deux chiffres ab

    après un premier retrait il devient ab-a-b

    ou bien 10Xa b-a-b

    soit 10Xa-a

    ce nombre est un multiple de 9

    retirer la somme des deux chiffres d’un multiple de 9 à ce même multiple de neuf(cette somme étant égale à 9), c’est reformer un multiple de neuf et ainsi de suite ....

    il restera 9 bombons dans le sac

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    • Janvier 2015, 2ème défi

      le 9 janvier 2015 à 08:37, par gedspilett

      il faut lire 10Xaa-b

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      • Janvier 2015, 2ème défi

        le 9 janvier 2015 à 08:39, par gedspilett

        désolé j’ai du mal avec mon clavier ce matin !

        (10X a) +b - a - b

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        • Janvier 2015, 2ème défi

          le 9 janvier 2015 à 08:42, par ROUX

          Et écrire donc (10*a + b) - (a + b) = 10*a + b - a - b = 9*a.

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          • Janvier 2015, 2ème défi

            le 9 janvier 2015 à 09:13, par gedspilett

            Oui, merci !

            De plus j’écris « bombon » en place de bonbon !

            Peut être parce que je n’en consomme pas assez ?

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  • Janvier 2015, 2ème défi

    le 9 janvier 2015 à 11:45, par Daniate

    En fait, quel que soit le nombre de départ, de 10 à l’infini, le résultat sera toujours 9.

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    • Janvier 2015, 2ème défi

      le 9 janvier 2015 à 15:09, par gedspilett

      Le fait de retirer à un nombre la somme des chiffres qui le composent, rend ce nouveau nombre congru à zéro (modulo 9).

      10^n est congru à 1 (modulo 9)

      Somme des An*10^n est congru à X modulo 9

      Somme des An est aussi congru à X modulo 9, car 10^n est congru à 1 modulo 9

      La différence des deux est congru à zéro modulo 9

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      • Janvier 2015, 2ème défi

        le 10 janvier 2015 à 18:32, par gedspilett

        Avec des caractères plus adaptés :

        on sait que 10ⁱ≡1 (mod9)

        donc si ∑ Aᵢ×10ⁱ≡X (mod 9)

        alors ∑ Aᵢ ≡X (mod 9) aussi

        donc ∑ Aᵢ×10ᵢ − ∑ Aᵢ ≡0 (mod 9)

        Le fait de retirer à un nombre, la somme des chiffres qui le composent, rend le nombre ainsi obtenu divisible par 9

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  • Janvier 2015, 2ème défi

    le 10 janvier 2015 à 21:16, par thomisus

    La petite Anna n’aura aucun problème avec la preuve par neuf à l’école.

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  • Janvier 2015, 2ème défi

    le 12 janvier 2015 à 09:09, par Daniate

    Ravi de voir qu’on se souvient encore de la preuve par 9 qui donne ici des démonstrations plus courtes, inquiet que nul ne se soit préoccupé de deux problèmes qui, s’ils sont évidents, méritent qu’on y passe quelques secondes : la décroissance aboutit-elle toujours à un nombre à un seul chiffre ? ce chiffre ne pourrait-il pas être 0 ?

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    • Janvier 2015, 2ème défi

      le 12 janvier 2015 à 09:57, par gedspilett

      Dans preuve par neuf (pour la multiplication), c’est « preuve » qui me gêne ! Forte présomption par neuf serait plus adapté, mais moins concis.
      Le chiffre neuf semble cohérent comme résultat, il est le premier nombre à un chiffre résultant de la décroissance et il met fin au processus de l’énoncé (retirer les deux chiffres qui composent le nombre), sauf si l’on écrit 09, dans ce cas c’est zéro qui gagne !

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      • Janvier 2015, 2ème défi

        le 12 janvier 2015 à 16:03, par Daniate

        D’accord, preuve devrait être en parenthèses, il n’en reste pas moins que dans la preuve par 9 (enseignée depuis plus d’un siècle) on remplace un nombre par la somme de ses chiffres qui a la même reste par la division par 9. Elle est utilisée aussi pour la division et pourrait l’être pour addition et soustraction. On peut aussi la considérer comme un théorème, parfaitement démontré au-dessus.

        Dans mon message précédent je ne disais pas que 0 était une solution, mais qu’il convenait de justifier pourquoi il ne l’était pas.

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  • Janvier 2015, 2ème défi

    le 15 janvier 2015 à 01:32, par slash81

    Plus simplement peut être, il suffit de s’imaginer à la dernière étape du processus, celui où l’on passe du dernier nombre à deux chiffres (qui peut varier de 10 à 19) et de se rendre compte que parmi les nombres à un chiffre compris entre 5 et 9 (inclus), seul le 9 satisfait. Peu importe le nombre total de bonbons au départ.

    Répondre à ce message

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