Un défi par semaine

Janvier 2015, 3e défi

16 janvier 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 3 :

Une suite de nombres est écrite au tableau. Les deux premiers nombres inscrits sont $1$ et $2$, puis on écrit $1+2+(1\times 2)=5$, puis $2+5+(2\times 5)=17$. Si $m$ et $n$ sont deux nombres incrits consécutivement, le suivant est
$m+n+mn$. Donner une expression de tous les nombres qui seront inscrits.

Solution du 2ème défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est 9 bonbons.

On écrit le nombre de bonbons initial
$\overline{ab}$, où $a$ et $b$ sont ses deux chiffres. Après la
première opération il reste donc

$10a+b-(a+b)=9a$ bonbons.

Si $a=1$, il reste 9 bonbons et ce chiffre est maximal. Si
le nombre des dizaines $a$ était $a\geq 2$, comme $9a$ est
un multiple de $9$ ayant deux chiffres
$(18,27,..,81)$, la somme de ses deux chiffres est toujours
$9$. Après la seconde opération, il restera $9a-9=9(a-1)$ bonbons.
Le nombre de bonbons dans le sac sera toujours un multiple de 9 et il restera donc 9 bonbons à la fin.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2015, 3ème défi

    le 16 janvier 2015 à 07:20, par Daniate

    Si on désigne par (Fn) la suite de Fibonnacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) alors pour la suite cherchée on a Un= 2^Fn * 3^F(n + 1) - 1

    Répondre à ce message
  • Janvier 2015, 3ème défi

    le 16 janvier 2015 à 08:39, par Daniate

    Reformulation avec les bons indices :

    Si on pose U0=1 et U1=2 alors Un=2^F(n-2)*3^F(n-1)-1

    Répondre à ce message
  • Janvier 2015, 3ème défi

    le 18 janvier 2015 à 20:04, par gedspilett

    Qui dit Fibonacci, dit nombre d’or

    De façon « empirique », on constate que ln(uₓ₊₁) ⁄ ln(uₓ) tend vers le nombre d’or quand x augmente, vérifiant aussi de façon empirique qu’un terme de la suite élevé à la puissance « ᵩ » donnait un résultat proche (avec une erreur relative qui diminue avec le rang du terme) de celui donné par la formule « Daniate »

    Cela n’a pas valeur de démonstration, mais de simple constatation !

    Répondre à ce message
  • Justification

    le 19 janvier 2015 à 14:45, par Daniate

    n+m+nm est un classique des énigmes mathématiques.

    En effet, n+m+nm+1=(n+1)(m+1) soit en terme de suite 1+U(n+1)=(1+Un)(1+U(n-1)). En posant Vn=ln(1+Un) on obtient V(n+1)=Vn+V(n-1) c’est à dire une suite généralisée de Fibonnacci avec ln(2) et ln(3) comme termes initiaux. Son terme général est Vn=F(n-2)ln(2)+F(n-1)ln(3) etc ...

    Répondre à ce message
  • Janvier 2015, 3ème défi

    le 29 janvier 2015 à 20:33, par Michel Marcus

    Une suite basée sur ce défi a été créée sur le site OEIS.
    Pour y accéder, aller à https://oeis.org/A254132.

    Répondre à ce message

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