Enoncé

La réponse est $2^a\cdot 3^b-1$ avec $a\leq b$ des nombres de Fibonacci consécutifs.

Observons que $m+n+mn=(m+1)(n+1)-1$. Écrivons les
premiers nombres de la suite écrite au tableau :

Dans la troisième colonne chaque nombre est le produit des
deux précédents. Notons que ces nombres sont de la forme $2^a\cdot 3^b$ avec
$a$ et $b$ des nombres entiers positifs. Comme, quand nous multiplions deux
nombres de cette forme, nous ajoutons les exposants, la suite des
exposants de 2 est 1, 1, 2, 3, 5..., c’est-à-dire que chaque nombre est
la somme des deux précédents. Cette suite de nombres est la suite
de Fibonacci. De même, la suite des exposants de 3 est 1, 2, 3, 5,
8..., qui est aussi la suite de Fibonacci. Donc $a$ et $b$ sont des
nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.

Par conséquent, les nombres écrits au tableau sont
$2^a\cdot 3^b-1$ avec $a$ et $b$ des nombres de Fibonacci
consécutifs tels que $1\leq a\leq b$.