Janvier 2015, 4e défi

Le 23 janvier 2015 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 4 :

Les nombres indiquent les aires des zones coloriées exprimées en cm$^2$.

Combien vaut $x$ ?

Solution du 3ème défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $2^a\cdot 3^b-1$ avec $a\leq b$ des nombres de Fibonacci consécutifs.

Observons que $m+n+mn=(m+1)(n+1)-1$. Écrivons les
premiers nombres de la suite écrite au tableau :

Dans la troisième colonne chaque nombre est le produit des
deux précédents. Notons que ces nombres sont de la forme $2^a\cdot 3^b$ avec
$a$ et $b$ des nombres entiers positifs. Comme, quand nous multiplions deux
nombres de cette forme, nous ajoutons les exposants, la suite des
exposants de 2 est 1, 1, 2, 3, 5..., c’est-à-dire que chaque nombre est
la somme des deux précédents. Cette suite de nombres est la suite
de Fibonacci. De même, la suite des exposants de 3 est 1, 2, 3, 5,
8..., qui est aussi la suite de Fibonacci. Donc $a$ et $b$ sont des
nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.

Par conséquent, les nombres écrits au tableau sont
$2^a\cdot 3^b-1$ avec $a$ et $b$ des nombres de Fibonacci
consécutifs tels que $1\leq a\leq b$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

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Janvier 2015, 4ème défi

le 24 janvier 2015 à 21:53, par thomisus

Juste un indice plutôt que la solution : trouver deux triangles que l’on a replié sur le rectangle et qui en ont l’aire à eux deux.
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