Un défi par semaine

Janvier 2016, 1er défi

Le 1er janvier 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 1 :

Dans le triangle $ABC$, l’angle $\widehat {ABC}$ vaut $118^{\circ}$ et les médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$ coupent $[AC]$ en $M$ et $N$, respectivement. Trouver la valeur de l’angle $\widehat{MBN}$.

Solution du 4e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $x^3=75$.

En élevant au carré, on obtient

$x^2=5\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\cdots}}}=5\sqrt{3x}.$

En élevant de nouveau au carré, on obtient $x^4=25\times3x=75x$. Comme $x$ est non nul, on a alors $x^3=75$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2016, 1er défi

    le 1er janvier à 10:21, par orion8

    Avec les deux triangles isocèles $ABM$ et $BCN$, on trouve (un peu trop) facilement que $\widehat{MBN} = 56°$.

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  • Janvier 2016, 1er défi : résolution sans élégance... Daniate, à notre aide !!!

    le 1er janvier à 10:30, par ROUX

    a est l’angle CAB.
    c est l’angle BCA.
    2m est l’angle AMB.
    2n est l’angle CNB.
    cm est l’angle BMC (cm car il est complémentaire à 2m).
    cn est l’angle BNA.
    Je vais aller calculer la somme cm + cn pour déterminer l’angle MBN noté b.
    Les triangles AMB et BNC sont isocèles donc : a + m = 90 et c + n = 90.
    a + 118 + c = 180 ou a + c = 62.
    Alors m + n = 180 - 62 = 118.
    Oh la la, que m + n soit égal à 118 doit pouvoir se montrer d’une très élégante manière !
    2m + cm = 180 et 2n + cn = 180 donc cn + cm = 360 - 2*118 = 360 - 236 = 124.
    b + cm + cn = 180 ou b = 180 - 124.
    MBN est égal à 56.
    Bonne mannéematique 2016 à toutes et à tous !

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    • Janvier 2016, 1er défi : résolution sans élégance... Daniate, à notre aide !!!

      le 1er janvier à 10:50, par orion8

      Bonjour. Décomposez $\widehat{ABC}$ en trois : a + b + c = 118° et a + c = 62° donnent immédiatement b = 56° !

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    • Janvier 2016, 1er défi : résolution sans élégance... Daniate, à votre aide ...

      le 1er janvier à 11:06, par Daniate

      Bonjour et bonne année

      Vous obtiendrez un peu plus d’élégance en vous rappelant que la somme des angles d’un triangle est 180° et donc a + c = 180 - 118, puis en remarquant que a et c se retrouvent au sommet et vous pourrez conclure rapidement. Par contre pour m + n = 118 on peut raccourcir votre calcul mais je n’ai pas (encore ?) trouvé de justification purement géométrique.

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      • Janvier 2016, 1er défi : résolution sans élégance... Daniate, à votre aide ...

        le 2 janvier à 08:21, par orion8

        Une autre rédaction. Appelons $B$ l’angle $\widehat{ABC}$, $x$ l’angle cherché, soit $\widehat{MBN}$, et reprenons les notations $a$ et $c$.
        On a : $2B = 2a + 2c + 2x = 180° - \widehat{AMB} + 180° - \widehat{BNC} + 2x = \widehat{BMC} + \widehat{BNA} + x + x = 180° + x$.
        On a montré de manière générale que : $2B = 180° + x$.

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  • Janvier 2016, 1er défi

    le 1er janvier à 11:37, par Al_louarn

    Bonjour et bonne année à tous.

    Puisque $M$ et $N$ sont sur les médiatrices respectives de $[AB]$ et $[BC]$ nous avons $AM$=$MB$ et $BN$=$NC$.
    Ce qui entraîne que les triangles $ABM$ et $BNC$ sont isocèles respectivement en $M$ et $N$, et donc :
    $\widehat {ABM}$ = $\widehat {BAM}$ = $\widehat {BAC}$
    $\widehat {CBN}$ = $\widehat {NCB}$ = $\widehat {ACB}$

    Additionnons et nous obtenons l’équation :
    $\widehat {ABM}$ + $\widehat {CBN}$ = $\widehat {BAC}$ + $\widehat {ACB}$

    Mais les membres de cette équation s’écrivent aussi :
    $\widehat {ABM}$ + $\widehat {CBN}$ = $\widehat {ABC}$ - $\widehat {MBN}$
    $\widehat {BAC}$ + $\widehat {ACB}$ = $180$ - $\widehat {ABC}$

    L’équation devient alors :
    $\widehat {ABC}$ - $\widehat {MBN}$ = $180$ - $\widehat {ABC}$

    Et finalement :
    $\widehat {MBN}$ = $2$*$\widehat {ABC}$ - $180$ = $2$*$118$-$180$

    La réponse est donc $\widehat {MBN}$ = $56$

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  • Une petite variation géométrique qui ne rend pas les choses plus simples

    le 2 janvier à 12:00, par Daniate

    Bonjour,

    Dans ce qui suit les vecteurs sont notés comme des bipoints ce qui ne simplifie pas l’écriture des angles orientés : l’angle entre les vecteurs AB et BC devrait être ((A,B),(B,C)) mais j’écrirais (ABBC). Je note b=(BABC) (donc équivalent à118° dans ce défi)

    Je complète la figure par G le cercle circonscrit au triangle ABC. Son centre O est l’intersection entre les 2 médiatrices. Les droites (BM) et (BN) recoupent G en D et E.

    Je note S1 et S2 les symétries d’axes (OM) et (ON).

    S1(A)=B ; S2(B)=C donc C=S2°S1(A) or S2°S1 est la rotation r de centre O et d’angle 2(OMON)=2(ABBC)=2(Pi-b)

    S1(M)=M ; S1(B)=A donc S1(BM)=(AM) et S1(D)=S1((BM) inter G)=(AM) inter G=C et pour finir S1(B,D)=(A,C) . De manière analogue on trouve S2(A,C)=(E,B) ce qui prouve, au passage que le triangle DBE est isocèle en B.

    Il vient (E,B)=r(B,D) et donc (BDEB)=2Pi-2b par suite (BDBE)=Pi-(2Pi-2b)=2b-Pi

    En remplaçant b par 118 et Pi par 180 on retrouve 56

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    • Une petite variation géométrique qui ne rend pas les choses plus simples

      le 2 janvier à 13:26, par orion8

      Ah, la voilà, cette démonstration géométrique !
      J’ai tourné autour pendant un certain temps, notamment en utilisant le cercle circonscrit (c’était tentant)... Bravo !
      PS. Adoptez LATEX !
      Par exemple : $\text{left( \vec{AB}~ ;\vec{BC} \right)}$ le tout encadré par deux signes « dollar » donne $\left(\vec{AB}~;\vec{BC}\right)$.

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  • Et avec Geogebra

    le 4 janvier à 18:06, par jls666

    Bonjour,
    Jouez avec la figure https://www.geogebra.org/material/simple/id/2370857

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