Un défi par semaine

Janvier 2016, 3e défi

Le 15 janvier 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 3 :

Il est demandé à quatre élèves d’une classe combien de pattes ont au total : une poule, six chiens et sept « palpigrades ». Louis répond $44$, Yvan $72$, Anne $65$ et Édouard $82.$ Sachant qu’un de ces élèves a raison, combien de pattes possède un « palpigrade » ?

Solution du 2e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $x_1 + x_2+x_3 + x_4 = 4.$

On observe tout d’abord que les coefficients de la variable $x_i$ dans les différentes
équations sont des valeurs successives de carrés : par exemple, les coefficients de $x_3$ sont successivement $9=3^2$, $16=4^2$ et $25=5^2$. De plus, trois carrés successifs notés $(n-1)^2$, $n^2$ et $(n+1)^2$ vérifient toujours l’égalité :

$(n-1)^2+(n+1)^2 = n^2-2n+1+n^2+2n+1 = 2n^2+2.$

Ainsi, en ajoutant la première équation à la troisième puis en soustrayant deux
fois la seconde, on trouve l’égalité :

$ 2 x_1 + 2 x_2+2 x_3 + 2 x_4 = 1 + 23 - 2\times 8= 8.$

Finalement, $x_1 + x_2+x_3 + x_4 = 4.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2016, 3e défi

    le 15 janvier à 07:31, par Al_louarn

    La poule et les chiens totalisent $1*2 + 6*4 = 26$ pattes.
    Le nombre total de pattes de palpigrades est un multiple de $7$ et se trouve parmi :
    $44 - 26 = 18$
    $72 - 26 = 46$
    $65 - 26 = 39$
    $82 - 26 = 56$
    Le seul nombre possible est $56$ donc un palpigrade possède $56/7=8$ pattes.

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  • Janvier 2016, 3e défi

    le 15 janvier à 17:28, par Daniate

    Chacun sait qu’il ne reste plus de palpigrades que sur Tralfamagore, planète chère au regretté Kurt Vonnegut, où la courtoisie, bien qu’il ne le dise pas, est de garder baissé l’auriculaire gauche, si bien que les élèves Tralfamagoriens comptent naturellement en base 9. C’est donc le premier élève qui ne se trompe pas et les palpigrades sont donc bipèdes.

    Remarque : Quelle que soit la base choisie le deuxième ne donnera jamais la bonne réponse.

    Répondre à ce message
    • Janvier 2016, 3e défi

      le 15 janvier à 23:08, par ROUX

      Vous êtes toujours étonnant  :) !

      Répondre à ce message
    • Janvier 2016, 3e défi

      le 15 janvier à 23:23, par ROUX

      Et Anne a raison en base 7 (3 pattes) et en base E (9 pattes) ?

      Répondre à ce message
      • Janvier 2016, 3e défi

        le 16 janvier à 08:55, par Daniate

        La base 7 n’est pas permise ici, à cause de la présence du 8 de 82 mais il est vrai que Anne a raison pour chaque base de forme 7n (n>1) avec un nombre de pattes 6n-3
        Louis a raison dans les bases 7n+2 (n>0) avec 4n-2 pattes et Edouard a raison en bases 7n+3 (n>0) avec 8n pattes. Dans les autres bases les 4 se trompent.

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  • Janvier 2016, 3e défi

    le 16 janvier à 09:45, par ROUX

    Ha ha ha !!!
    Je ris car Anne est le prénom d’un de mes enfants, toutes et tous muni(e)s d’un solide sens de la répartie et chacune ou chacun de mes enfants pourrait dans une situation identique me soutenir qu’elle ou il parle dans la base de son choix personnel !
    Anne, au minimum en base 7, alors.
    Ha ha ha !!!
    Mes enfants sont des 10 sexes différents  ;) !

    Répondre à ce message

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