Janvier 2016, 3e défi

Le 15 janvier 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 3 :

Il est demandé à quatre élèves d’une classe combien de pattes ont au total : une poule, six chiens et sept « palpigrades ». Louis répond $44$, Yvan $72$, Anne $65$ et Édouard $82.$ Sachant qu’un de ces élèves a raison, combien de pattes possède un « palpigrade » ?

Solution du 2e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $x_1 + x_2+x_3 + x_4 = 4.$

On observe tout d’abord que les coefficients de la variable $x_i$ dans les différentes
équations sont des valeurs successives de carrés : par exemple, les coefficients de $x_3$ sont successivement $9=3^2$, $16=4^2$ et $25=5^2$. De plus, trois carrés successifs notés $(n-1)^2$, $n^2$ et $(n+1)^2$ vérifient toujours l’égalité :

$(n-1)^2+(n+1)^2 = n^2-2n+1+n^2+2n+1 = 2n^2+2.$

Ainsi, en ajoutant la première équation à la troisième puis en soustrayant deux
fois la seconde, on trouve l’égalité :

$ 2 x_1 + 2 x_2+2 x_3 + 2 x_4 = 1 + 23 - 2\times 8= 8.$

Finalement, $x_1 + x_2+x_3 + x_4 = 4.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Janvier 2016, 3e défi

le 16 janvier 2016 à 08:55, par Daniate

La base 7 n’est pas permise ici, à cause de la présence du 8 de 82 mais il est vrai que Anne a raison pour chaque base de forme 7n (n>1) avec un nombre de pattes 6n-3
Louis a raison dans les bases 7n+2 (n>0) avec 4n-2 pattes et Edouard a raison en bases 7n+3 (n>0) avec 8n pattes. Dans les autres bases les 4 se trompent.
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