Un défi par semaine

Janvier 2016, 4e défi

22 janvier 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 4 :

Considérons les trois carrés suivants : quelle est la valeur de $x+y+z$ ?

PNG - 22.4 ko

Solution du 3e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $8$ pattes.

Notons $x$ le nombre de pattes d’un « palpigrade ». Le nombre total de pattes est alors $2+6\times4+7x=7x+26.$ Comme le nombre de pattes d’un palpigrade est entier, seul Édouard a raison car $82-26=56$ est divisible par $7$ et aucun des nombres $44-26=18$, $72-26=46$, $65-26=39$ n’est divisible par $7$. Finalement, $x=\frac{82-26}{7}=8$ et un « palpigrade » a $8$ pattes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2016, 4e défi

    le 22 janvier à 09:47, par mesmaker

    Voici quelques liens pour avoir plusieurs solutions de ce riche problème.
    Désolé mais c’est en anglais. Pour ceux que cela intéresse ces vidéos font
    partie d’une chaîne youtube intéressante sur les maths : numberphile.
    https://www.youtube.com/watch?v=m5evLoL0xwg
    https://www.youtube.com/watch?v=TIwSsirIzuU&feature=iv&src_vid=m5evLoL0xwg&annotation_id=annotation_546095263
    https://www.youtube.com/watch?v=Be_sXh1KrRU&feature=iv&src_vid=m5evLoL0xwg&annotation_id=annotation_1074051355

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    • Janvier 2016, 4e défi

      le 22 janvier à 18:20, par orion8

      Bonjour, je ne sais pas si cette solution est dans une des vidéos, mais je la propose quand même.
      Je nomme les points en partant de celui en bas à gauche, et en tournant dans le sens trigonométrique : O, A, B ... jusque G. Un repère orthonormé du plan complexe est alors (O, A, G).
      On a :
      $z_D=3+\text{i}= \sqrt{3^2+1^2}\text{e}^{\text{i}x}= \sqrt{10}\text{e}^{\text{i}x}$ puis :
      $z_D-z_A=2+\text{i}= \sqrt{2^2+1^2}\text{e}^{\text{i}x}= \sqrt{5}\text{e}^{\text{i}y}$ puis :
      $z_D-z_B=3+\text{i}= \sqrt{1^2+1^2}\text{e}^{\text{i}x}= \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}z}$

      En faisant le produit des trois, il vient : $10\text{i}=10\text{e}^{\text{i}(x+y+z)}$
      soit : $10\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{2}}=10\text{e}^{\text{i}(x+y+z)}$
      C’est à dire : $x+y+z=\dfrac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$

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      • Janvier 2016, 4e défi

        le 23 janvier à 07:30, par orion8

        Deux fautes de frappe ; il faut lire :
        $z_D-z_A= ... \sqrt{2^2+1^2}\text{e}^{\text{i}y}$
        et
        $z_D-z_B= ... \sqrt{1^2+1^2}\text{e}^{\text{i}z}$

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      • Janvier 2016, 4e défi

        le 23 janvier à 08:58, par mesmaker

        Non cette solution n’y est pas. Par contre il y a une joli solution purement géométrique qu’un élève de collège pourrait comprendre.

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        • Janvier 2016, 4e défi

          le 23 janvier à 11:01, par orion8

          Merci, je vais regarder.
          Un dernière faute de frappe : $z_D-z_B=1+\text{i}$, bien sûr...
          Ah, le copier-coller...

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    • Janvier 2016, 4e défi

      le 23 janvier à 23:55, par Davidoo

      Un peu laborieux... si vous êtes pressé allez directement à la 6ième minute où vous trouverez une très belle solution purement géométrique.

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    • Janvier 2016, 4e défi

      le 27 janvier à 22:17, par eiti

      Une solution simple différente de celle de la vidéo : On note X, Y et Z les sommets portant les angles x, y et z. Ensuite, on note X, A, B et C les sommets du rectangle parcouru dans le sens trigonométrique. Enfin on note $\theta$ l’angle en B du triangle [X,Z,B]. L’aire du triangle [X,Z,B] vaut $\frac{1}{2}|AB||XZ|=1=\frac{1}{2}|XB| |ZB|\sin\theta=\sqrt{10}\sqrt{2}\frac{\sin\theta}{2}$ et de même l’aire de [Y,A,B] vaut $\frac{1}{2}|YA||AB|=1=\frac{1}{2}|YA||YB|\sin y=2\sqrt{5}\sin y$ dont on déduit que $y=\theta$. Comme l’angle en B du triangle [B,C,X] vaut $x$ et l’angle en $B$ du triangle [Z,A,B] vaut $z$, on obtient $x+y+z=\frac{\pi}{2}$.

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  • Janvier 2016, 4e défi

    le 22 janvier à 16:11, par richecoeur

    Tan(z) =1 d’où z= 45° tan(y) = 1/2 d’où y = 26,5651° et tan(x)= 1/3 d’où x= 18,4349° et x+y+z= 90°

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    • Janvier 2016, 4e défi

      le 23 janvier à 23:45, par Davidoo

      tg(x + y) = (tg(x) + tg(y))/(1-tg(x)tg(y))
      Comme : tg(x) = 1/3 et tg(y) = 1/2 on trouve tg(x + y) = 1.
      Donc x + y = 45° et comme z = 45°
      x + y + z = 90°

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  • Janvier 2016, 4e défi

    le 23 janvier à 23:07, par Karil

    • On appelle O le point d’origine des trois diagonales, A sommet de z, B de y et C de x.
    • On trace la diagonale, [AD], du second carré partant de A. Elle Coupe [OC] en I.

    AO=DC et OD=AC, ainsi AODC est un parallélogramme ; donc I sera le milieu de [AD] et [OC].

    Comme z=45°, le triangle OAP est rectangle en A, et a un ratio hauteur/base de 1/2,
    Exactement comme le triangle rectangle formé avec l’angle y !
    D’où l’angle POA= y

    On rassemble ainsi, dans le coin du carré au niveau de O
    L’angle complémentaire de z qui est égal à z=45°
    Un angle IOA égal à y
    Un angle égal à x (symétrie de centre P ou demi-rectangle, au choix) qui complète la figure.

    Donc x+y+z=90°.

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  • Janvier 2016, 4e défi

    le 6 février à 17:00, par MétéoForex

    90 à l’oeil

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