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• Janvier 2016, 4e défi

  le 22 janvier 2016 à 09:47, par mesmaker

  Voici quelques liens pour avoir plusieurs solutions de ce riche problème.
  Désolé mais c’est en anglais. Pour ceux que cela intéresse ces vidéos font
  partie d’une chaîne youtube intéressante sur les maths : numberphile.
  https://www.youtube.com/watch?v=m5evLoL0xwg
  https://www.youtube.com/watch?v=TIwSsirIzuU&feature=iv&src_vid=m5evLoL0xwg&annotation_id=annotation_546095263
  https://www.youtube.com/watch?v=Be_sXh1KrRU&feature=iv&src_vid=m5evLoL0xwg&annotation_id=annotation_1074051355

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 22 janvier 2016 à 18:20, par orion8

  Bonjour, je ne sais pas si cette solution est dans une des vidéos, mais je la propose quand même.
  Je nomme les points en partant de celui en bas à gauche, et en tournant dans le sens trigonométrique : O, A, B ... jusque G. Un repère orthonormé du plan complexe est alors (O, A, G).
  On a :
  $z_D=3+\text{i}= \sqrt{3^2+1^2}\text{e}^{\text{i}x}= \sqrt{10}\text{e}^{\text{i}x}$ puis :
  $z_D-z_A=2+\text{i}= \sqrt{2^2+1^2}\text{e}^{\text{i}x}= \sqrt{5}\text{e}^{\text{i}y}$ puis :
  $z_D-z_B=3+\text{i}= \sqrt{1^2+1^2}\text{e}^{\text{i}x}= \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}z}$

  En faisant le produit des trois, il vient : $10\text{i}=10\text{e}^{\text{i}(x+y+z)}$
  soit : $10\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{2}}=10\text{e}^{\text{i}(x+y+z)}$
  C’est à dire : $x+y+z=\dfrac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 23 janvier 2016 à 07:30, par orion8

  Deux fautes de frappe ; il faut lire :
  $z_D-z_A= ... \sqrt{2^2+1^2}\text{e}^{\text{i}y}$
  et
  $z_D-z_B= ... \sqrt{1^2+1^2}\text{e}^{\text{i}z}$

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 23 janvier 2016 à 08:58, par mesmaker

  Non cette solution n’y est pas. Par contre il y a une joli solution purement géométrique qu’un élève de collège pourrait comprendre.

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 23 janvier 2016 à 11:01, par orion8

  Merci, je vais regarder.
  Un dernière faute de frappe : $z_D-z_B=1+\text{i}$, bien sûr...
  Ah, le copier-coller...

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 23 janvier 2016 à 23:55, par Davidoo

  Un peu laborieux... si vous êtes pressé allez directement à la 6ième minute où vous trouverez une très belle solution purement géométrique.

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 27 janvier 2016 à 22:17, par eiti

  Une solution simple différente de celle de la vidéo : On note X, Y et Z les sommets portant les angles x, y et z. Ensuite, on note X, A, B et C les sommets du rectangle parcouru dans le sens trigonométrique. Enfin on note $\theta$ l’angle en B du triangle [X,Z,B]. L’aire du triangle [X,Z,B] vaut $\frac{1}{2}|AB||XZ|=1=\frac{1}{2}|XB| |ZB|\sin\theta=\sqrt{10}\sqrt{2}\frac{\sin\theta}{2}$ et de même l’aire de [Y,A,B] vaut $\frac{1}{2}|YA||AB|=1=\frac{1}{2}|YA||YB|\sin y=2\sqrt{5}\sin y$ dont on déduit que $y=\theta$. Comme l’angle en B du triangle [B,C,X] vaut $x$ et l’angle en $B$ du triangle [Z,A,B] vaut $z$, on obtient $x+y+z=\frac{\pi}{2}$.

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 22 janvier 2016 à 16:11, par richecoeur

  Tan(z) =1 d’où z= 45° tan(y) = 1/2 d’où y = 26,5651° et tan(x)= 1/3 d’où x= 18,4349° et x+y+z= 90°

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 23 janvier 2016 à 23:45, par Davidoo

  tg(x + y) = (tg(x) + tg(y))/(1-tg(x)tg(y))
  Comme : tg(x) = 1/3 et tg(y) = 1/2 on trouve tg(x + y) = 1.
  Donc x + y = 45° et comme z = 45°
  x + y + z = 90°

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 23 janvier 2016 à 23:07, par Karil

  • On appelle O le point d’origine des trois diagonales, A sommet de z, B de y et C de x.

  • On trace la diagonale, [AD], du second carré partant de A. Elle Coupe [OC] en I.

  AO=DC et OD=AC, ainsi AODC est un parallélogramme ; donc I sera le milieu de [AD] et [OC].

  Comme z=45°, le triangle OAP est rectangle en A, et a un ratio hauteur/base de 1/2,
  Exactement comme le triangle rectangle formé avec l’angle y !
  D’où l’angle POA= y

  On rassemble ainsi, dans le coin du carré au niveau de O
  L’angle complémentaire de z qui est égal à z=45°
  Un angle IOA égal à y
  Un angle égal à x (symétrie de centre P ou demi-rectangle, au choix) qui complète la figure.

  Donc x+y+z=90°.

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• Janvier 2016, 4e défi

  le 6 février 2016 à 17:00, par MétéoForex

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