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Un défi par semaine

Janvier 2016, 5e défi

Le 29 janvier 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 5 :

Un train de $900$ m de long se déplaçant à $90$ km/h s’approche d’un pont de $100$ m de long : combien de secondes mettra-t-il pour traverser entièrement le pont ?

Solution du 4e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $x+y+z=90^\circ$.

Supposons sans perte de généralité que chaque carré fait $1$ cm de côté. En utilisant le théorème de Pythagore on obtient les longueurs $BD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ cm et $ED=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$ cm. De plus, $z=45^\circ$ car $[FD]$ est la diagonale d’un carré.

Sur la figure de droite ci-dessus,

$BG^2+GD^2=\sqrt{5}^2+\sqrt{5}^2=10=BD^2.$

Ainsi le triangle $BGD$ est isocèle et, par la réciproque du théorème de Pythagore, rectangle en $G$. L’angle $\widehat{DBG}=x+y=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$ En conséquence, la somme $x+y+z$ vaut $90^\circ$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Commentaire sur l'article

Janvier 2016, 5e défi

le 29 janvier 2016 à 09:10, par Al_louarn

Du point de vue du conducteur situé à l’avant, pour que le train traverse entièrement le pont, il faut d’abord parcourir les $100$ m du pont, puis encore $900$ m pour que l’arrière du train atteigne la fin du pont. La distance totale parcourue est donc $100$ m + $900$ m = $1$ km.
Puisque le train parcourt $90$ km en $1$ heure = $3600$ secondes, il ne lui faudra que $3600/90 = 400$ secondes pour traverser entièrement le pont.
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Janvier 2016, 5e défi

le 29 janvier 2016 à 10:01, par ingé-nana

Je suis d’accord avec votre solution sauf que 3600/90 = 40 sec !!
400 sec serait quand même long pour un si petit pont :-)

Anaïs (bonjour Papa JLG !!)
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Janvier 2016, 5e défi

le 29 janvier 2016 à 13:13, par Raphaël

Plutôt 40 secondes.
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