Un défi par semaine

Janvier 2017, 1er défi

Le 8 janvier 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 1 :

Certains nombres entiers peuvent s’écrire comme la somme de nombres impairs consécutifs. Par exemple, $64=13+15+17+19$. Est-il possible d’écrire $2017$ comme la somme d’au moins deux nombres impairs positifs consécutifs ?

Solution du 5e défi de Décembre 2016 :

Enoncé

La réponse est $504$.

Observons que le nombre fétiche de Marie est un multiple de $7$, puisqu’en lui soustrayant $7$ le résultat est divisible par $7$. De façon analogue nous pouvons dire que ce nombre est un multiple de $8$ et de $9$. Comme ces trois nombres $7$, $8$ et $9$ n’ont pas de diviseur commun autre que $1$, le nombre fétiche doit être un multiple du produit $7\times 8\times 9 = 504$. Or $504$ est l’unique multiple à avoir $3$ chiffres. Le nombre fétiche de Marie est donc $504$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Sinclair stammers / SPL-Science photo library / Biosphoto

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2017, 1er défi

    le 8 janvier à 23:03, par Niak

    Si $n$ est une somme de nombres impairs consécutifs, alors il peut s’écrire $n=\sum_{k=a}^b{2k+1}=(b-a+1)(a+b+1)$ avec $a\leq b$. Comme $n=2017$ est premier, il faut $b-a+1=1$, i.e. $a=b$, donc la réponse est non.

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  • Janvier 2017, 1er défi

    le 9 janvier à 18:40, par ROUX

    Il en faut au moins 3 puisque 2017 est impair.
    Donc, 2.p+3 ; 2.p+1 ; 2p-1 si j’en ai 3 et leur somme est égale à 3.2.p+3.
    Ou, 2.p+5 ; 2.p+3 ; 2.p+1 ; 2p-1 ; 2.p-3 si j’en ai 5 et leur somme est égale à 5.2.p+5.
    Là, en fait, j’étais parti pour des sommes d’entiers impairs successifs mais sans penser à aller compenser dans les négatifs ; j’étais pas mal loin et je me suis dit : "Ouh la la, que ferait Daniate là-dedans ? Et, voilà, j’ai compensé ;-))
    Si j’ai (2.k+1) nombres impairs comme ça, leurs somme est égale à (2.k+1).2.p+2.k+1 ou est égale à (2.k+1).(2.p+1).
    Allons chercher les diviseurs de 2017.
    Ah bah il est premier...
    Zut...
    Et 2019 ?
    Bon, 2019 = 3*673.
    Donc, 3 nombres impairs tels que 2.p+1=673.
    Donc, 675 + 673 + 671 = 2019.
    Yes !!!

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  • Janvier 2017, 1er défi

    le 9 janvier à 19:05, par ROUX

    2023 ?
    17*119 donc les 17 entiers impairs consécutifs entre 103 (119-16=103) et 135 (119+16=135).
     :-) !!!

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    • Janvier 2017, 1er défi

      le 10 janvier à 10:50, par Daniate

      Et pourquoi pas 119 entiers impairs consécutifs de 17-118 (-101) à 17+118 (135) ?

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      • Janvier 2017, 1er défi

        le 10 janvier à 17:34, par Niak

        Peut-être parce qu’à ce compte là 2017 est la somme des impairs consécutifs de -2015 à 2017 :-p.

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        • Janvier 2017, 1er défi

          le 10 janvier à 19:01, par Daniate

          En effet, on se heurte souvent à l’abus de langage entiers à la place de naturels alors qu’ils désignent les « relatifs » d’où bon nombres de disgressions dans ces défis. Mais je n’avais pas remarqué que cela donnait une solution au défi d’origine. A ce propos, il est à rapprocher d’un résultat des suites arithmétiques : la somme de n termes consécutifs est divisible par n sauf si n est pair et que la raison est impaire.

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      • Janvier 2017, 1er défi

        le 10 janvier à 17:57, par ROUX

        Je m’étais mal exprimé.
        Je n’ai pas compensé dans les entiers impairs négatifs.
        J’ai écrit les entiers impairs successifs en gardant 2.p+1 en valeur centrale.
        Car la dame demandait bel et bien que les entiers impairs successifs soient positifs 😉...

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        • Janvier 2017, 1er défi

          le 11 janvier à 12:06, par Daniate

          Vous avez bien raison et encore une fois je n’ai lu que superficiellement le texte, positifs m’a échappé, donc mes envois précédents sont sans objet. Honte à moi.

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