Un défi par semaine

Janvier 2017, 3e défi

Le 20 janvier 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 3 :

On écrit sur la première ligne d’un tableau de $28$ lignes et $37$ colonnes :
les nombres $1,$ $2,\dots,37$ puis sur la seconde ligne, $38,\dots,74$ et ainsi de suite (de gauche à droite). On écrit aussi sur la première colonne les nombres $1,$ $2,\dots, 28$, puis sur la seconde $29, \dots,56$ et ainsi de suite (de haut en bas). Combien vaut la somme des nombres apparaissant deux fois dans la même case ?

Solution du 2e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $5$ sous-ensembles.

Remarquons que les nombres $2$, $4$, $8$, $16$ et $32$ doivent se trouver dans des sous-ensembles distincts. Il faut donc au moins $5$ sous-ensembles.

Remarquons que $5$ suffisent : en effet, les $5$ sous-ensembles
$\{2\}$, $\{3,4\}$, $\{5,6,7,8\}$, $\{9,10,\dots,16\}$, $\{17,18,\dots,32\}$ vérifient la condition.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Sinclair stammers / SPL-Science photo library / Biosphoto

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2017, 3e défi

    le 20 janvier à 09:11, par Al_louarn

    Soit $n$ un nombre apparaissant deux fois dans la même case. Si on l’écrit sous la forme $n=37q + r$ avec $r < 37$, alors il apparaît dans la colonne $r$ de la ligne $q+1$, et donc il vérifie $n=28(r-1) + q + 1$, d’où $37q + r=28(r-1) + q + 1$, qui se réduit à $4q=3(r-1)$. Donc il existe un entier naturel $k$ tel que $q=3k$, d’où $4k=r-1$, ou encore $r=4k+1$. Les nombres cherchés sont donc de la forme $n=37 \times 3k + 4k +1$, soit $n=115k+1$.

    Il est clair que le plus grand ce ces nombres est le nombre total de cases du tableau $37 \times 28 = 1036$. Donc $k$ vérifie $115k+1 \leq 1036$, d’où $k \leq 9$.

    La somme cherchée est donc
    \[ S=\sum_{0 \leq k \leq 9}{(115k+1)} = 9 + 115\sum_{1 \leq k \leq 9}{k} = 9 + 115 \times \frac{9 \times 10}{2} \]
    \[ S=5184 \]

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    • Janvier 2017, 3e défi

      le 20 janvier à 10:01, par ROUX

      5185, non ?
      On ajoute ce 1 dix fois pour k variant de 0 à 9, non ?

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      • Janvier 2017, 3e défi

        le 20 janvier à 14:15, par Al_louarn

        Oui bien sûr vous avez raison !

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  • Janvier 2017, 3e défi

    le 20 janvier à 11:33, par ROUX

    Un nombre dans une case s’écrit soit 37*(L-1) + C}} ou 28*(C-1) + L où L est le n°de la ligne et C est le n° de la colonne.
    On cherche les nombres tels que 37*(L-1) + C = 28*(C-1) + L.
    Cela conduit à 4*L = 3*C + 1.
    Après quelques tâtonnements et une Excellerie, j’ai déterminé que les valeurs de C sont de la forme 1 + 4*k ce qui conduit à L = 1 + 3*k.
    En prenant par exemple 37*(L-1) + C et en remplaçant C et L, on trouve que les nombres sont de la forme 115*k + 1.
    Et, zou !

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    • Janvier 2017, 3e défi

      le 20 janvier à 13:26, par Daniate

      Une vision plus arithmetico-géométrique. Chaque case est repérée par son sommet en haut et à gauche ce qui donne un quadrillage de n-1 lignes sur p-1 colonnes (dans le cas général d’un rectangle nxp). Lors d’une coïncidence on considère le rectangle A du nouveau quadrillage de l’origine au point de coïncidence. Les 2 rectangles à droite et sous ce rectangle ont la même aire (autant de sommets restants en enlevant les sommets communs de A). C’est une propriété de la diagonale d’ un rectangle. Cela revient à chercher les points du quadrillage qui sont sur la diagonale. Problème connu dont la réponse est qu’il y en a d+1 régulièrement espacés d étant le pgcd de n-1 et p-1. Au passage on montre que les nombres inscrits sur les coïncidences sont en progression arithmétique et au nombre de d+1. Leur somme est donc (premier terme+dernier terme)xnombre de termes/2 soit S = (np+1)x(d+1)/2

      Pour le défi on a n=28 p=37 d=9=pgcd(27,36) et donc S=(28x37+1)x5 = 5185

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      • Janvier 2017, 3e défi

        le 20 janvier à 17:43, par ROUX

        Je vous attendais, évidemment ;-).
        Repérer, comme vous êtes mathématicien, cela signifie qu’il y a un repère, donc chaque sommet est repéré par deux coordonnées.
        Mais, actuellement, je ne « vois » rien du tout : je ne réussis même pas à tracer ce nouveau quadrillage. Je ne comprends même pas comment ce quadrillage a perdu une ligne et une colonne.
        Vous allez m’aider, n’est-ce pas ?

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        • Janvier 2017, 3e défi

          le 20 janvier à 18:50, par Daniate

          Bonsoir, je me suis mal exprimé. Je remplace chaque carré par un point , son sommet supérieur gauche ( j’aurai pu choisir le centre ou un autre sommet). Tous ces sommets sont les nœuds d’un quadrillage de n lignes et p colonnes et c’est eux que l’on va numéroter. Par contre je raisonne aussi sur les carrés formés par ce nouveau quadrillage et il n’y en a plus que n-1 sur p-1. J’espère avoir un peu éclairci mon charabia.

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    • Janvier 2017, 3e défi

      le 21 janvier à 11:12, par ruello

      Par besoin d’« excellerie », ni de tâtonnements pour résoudre dans Z*Z, 4L-3C=1.
      Méthode classique : 4( L-1) = 3( C-1), à l’aide du théorème de Gauss, on obtient L-1 = 3 k et C-1 = 4k’, on a nécessairement k = k’ d’où L = 1+3k C = 1 +4k ( k entier)

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      • Janvier 2017, 3e défi

        le 21 janvier à 13:12, par fzefredo

        … et…

        L’internaute de base, qui trouve qu’un tableur grand public n’a rien à faire sur un site de mathématiques,
        sort sa science
        et s’en va sans terminer la démonstration (sur un site de mathématiques)

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      • Janvier 2017, 3e défi

        le 21 janvier à 15:35, par ROUX

        Jolie, la transformation de 4L-3C=1 en 4( L-1) = 3( C-1).
        Après, euh, le théorème de Gauss ?
        Plutôt (L-1) doit être un multiple de 3 et (C-1) doit être un multiple de 4.
        Donc 4*3k=3*4k’ donc nécessairement k=k’, etc.
        Pas de Gausserie là-dedans  ;-) ou alors si ce que je viens d’écrire est le théorème de Gauss, heureuse époque où on pouvait laisser son nom à des petites choses comme ça  :-))...

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        • Janvier 2017, 3e défi

          le 21 janvier à 18:56, par Daniate

          Bonsoir , le brave Gauss s’est intéressé à tant de domaines où il a laissé des théorèmes ou des lemmes qu’en effet il y en a un qui peut nous servir : si a et b sont premiers entre eux et si a divise bc alors a divise c. La méthode classique est certainement une méthode de résolution des équations diophantiennes (soyons cuistre) les plus simples : on cherche une solution particulière, 4-3=1, égalité que l’on retranche à l’équation de départ pour obtenir un 2ème membre nul (équation homogène)(toujours cuistre) . A remarquer que la démonstration k=k’ ne s’impose. Une fois qu’on a trouvé C-1=4k il suffit de diviser l’équation de départ par 4 pour avoir L-1=3k.

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          • Janvier 2017, 3e défi

            le 22 janvier à 09:53, par ROUX

            Wikitionnaire pour cuistre :
            Personne pédante (Wikitionnaire pour pédant : Qui fait étalage de son savoir de manière prétentieuse=NON), vaniteuse=NON et ridicule=NON, souvent fière=OUI ON LE SERAIT TOUTES ET TOUS d’étaler son savoir mal=NON assimilé devant des gens simples=OUI SI MOI qu’elle croit=NON (sait) moins éclairés qu’elle, parce qu’ils sont incapables de la contredire= OUI SI MOI, ou parce qu’ils ne comprennent pas son jargon=PARFOIS (là, au-dessus, je ne m’en sors toujours pas même si je crois avoir réussi à faire le quadrillage... Mais, après...  :-(()
            Ah, donc, cuistre=NON  ;-) !

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          • Janvier 2017, 3e défi

            le 22 janvier à 15:16, par fzefredo

            Moi j’avais appris ça sous le nom de Bezou. Je réservais le théorème de Gauss à des histoires de conducteur chargé et de champ électrique. C’est une histoire de culture. Bien à vous

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