Un défi par semaine

Janvier 2017, 3e défi

Le 20 janvier 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 3 :

On écrit sur la première ligne d’un tableau de $28$ lignes et $37$ colonnes :
les nombres $1,$ $2,\dots,37$ puis sur la seconde ligne, $38,\dots,74$ et ainsi de suite (de gauche à droite). On écrit aussi sur la première colonne les nombres $1,$ $2,\dots, 28$, puis sur la seconde $29, \dots,56$ et ainsi de suite (de haut en bas). Combien vaut la somme des nombres apparaissant deux fois dans la même case ?

Solution du 2e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $5$ sous-ensembles.

Remarquons que les nombres $2$, $4$, $8$, $16$ et $32$ doivent se trouver dans des sous-ensembles distincts. Il faut donc au moins $5$ sous-ensembles.

Remarquons que $5$ suffisent : en effet, les $5$ sous-ensembles
$\{2\}$, $\{3,4\}$, $\{5,6,7,8\}$, $\{9,10,\dots,16\}$, $\{17,18,\dots,32\}$ vérifient la condition.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Sinclair stammers / SPL-Science photo library / Biosphoto

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  • Janvier 2017, 3e défi

    le 20 janvier 2017 à 09:11, par Al_louarn

    Soit $n$ un nombre apparaissant deux fois dans la même case. Si on l’écrit sous la forme $n=37q + r$ avec $r < 37$, alors il apparaît dans la colonne $r$ de la ligne $q+1$, et donc il vérifie $n=28(r-1) + q + 1$, d’où $37q + r=28(r-1) + q + 1$, qui se réduit à $4q=3(r-1)$. Donc il existe un entier naturel $k$ tel que $q=3k$, d’où $4k=r-1$, ou encore $r=4k+1$. Les nombres cherchés sont donc de la forme $n=37 \times 3k + 4k +1$, soit $n=115k+1$.

    Il est clair que le plus grand ce ces nombres est le nombre total de cases du tableau $37 \times 28 = 1036$. Donc $k$ vérifie $115k+1 \leq 1036$, d’où $k \leq 9$.

    La somme cherchée est donc
    \[ S=\sum_{0 \leq k \leq 9}{(115k+1)} = 9 + 115\sum_{1 \leq k \leq 9}{k} = 9 + 115 \times \frac{9 \times 10}{2} \]
    \[ S=5184 \]

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