Un défi par semaine

Janvier 2017, 3e défi

Le 20 janvier 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 3 :

On écrit sur la première ligne d’un tableau de $28$ lignes et $37$ colonnes :
les nombres $1,$ $2,\dots,37$ puis sur la seconde ligne, $38,\dots,74$ et ainsi de suite (de gauche à droite). On écrit aussi sur la première colonne les nombres $1,$ $2,\dots, 28$, puis sur la seconde $29, \dots,56$ et ainsi de suite (de haut en bas). Combien vaut la somme des nombres apparaissant deux fois dans la même case ?

Solution du 2e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $5$ sous-ensembles.

Remarquons que les nombres $2$, $4$, $8$, $16$ et $32$ doivent se trouver dans des sous-ensembles distincts. Il faut donc au moins $5$ sous-ensembles.

Remarquons que $5$ suffisent : en effet, les $5$ sous-ensembles
$\{2\}$, $\{3,4\}$, $\{5,6,7,8\}$, $\{9,10,\dots,16\}$, $\{17,18,\dots,32\}$ vérifient la condition.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Sinclair stammers / SPL-Science photo library / Biosphoto

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  • Janvier 2017, 3e défi

    le 20 janvier 2017 à 13:26, par Daniate

    Une vision plus arithmetico-géométrique. Chaque case est repérée par son sommet en haut et à gauche ce qui donne un quadrillage de n-1 lignes sur p-1 colonnes (dans le cas général d’un rectangle nxp). Lors d’une coïncidence on considère le rectangle A du nouveau quadrillage de l’origine au point de coïncidence. Les 2 rectangles à droite et sous ce rectangle ont la même aire (autant de sommets restants en enlevant les sommets communs de A). C’est une propriété de la diagonale d’ un rectangle. Cela revient à chercher les points du quadrillage qui sont sur la diagonale. Problème connu dont la réponse est qu’il y en a d+1 régulièrement espacés d étant le pgcd de n-1 et p-1. Au passage on montre que les nombres inscrits sur les coïncidences sont en progression arithmétique et au nombre de d+1. Leur somme est donc (premier terme+dernier terme)xnombre de termes/2 soit S = (np+1)x(d+1)/2

    Pour le défi on a n=28 p=37 d=9=pgcd(27,36) et donc S=(28x37+1)x5 = 5185

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