Un défi par semaine

Janvier 2017, 4e défi

Le 27 janvier 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 4 :

Trouvez un chemin allant de $A$ vers $B$ passant par tous les sommets sans jamais repasser par le même endroit.

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Solution du 3e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $5185$.

Numérotons les lignes du tableau de $0$ à $27$ et les colonnes de $0$
à $36$. Écrivons en rouge les nombres écrits par ligne, et en noir les nombres
écrits par colonne. Par exemple, le nombre rouge à la ligne $3$ et à la colonne
$5$ est : $ 1+5+ 3\times 37=117$ et le nombre noir est $1+3+5\times 28=144$.

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De manière générale, le nombre rouge de la ligne $r$ et de la colonne $k$ est
donné par la formule $1+k+37r$ et le nombre noir est donné par $1+r+28k$. Ces deux nombres sont donc égaux si $1+k+37r=1+r+28k$, c’est-à-dire si $36r=27k$ et en simplifiant $4r=3k$. Les valeurs de $r$ sont donc les multiples de $3$ : $0,3,\dots,27$ et celles de $k$ sont alors respectivement $0,4,\dots,36$. Il y a donc $10$ cases dans lesquelles les nombres rouges et noirs sont égaux et ils s’écrivent sous la forme :

$1+\frac{4}{3}r+37r=1+4a+111a=1+115a$

où $r=3a$ pour $a=0,\ldots,9.$ On obtient finalement les nombres $1,1+115,1+2\times115+\cdots+1+9\times115$ qui ont pour somme :

$1+ (1+ 115) +\ldots + (1+9 \times 115) = 10 + 115\left (\frac{9\times 10}{2}\right ) = 10 + 115\times 45 = 5185.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Sinclair stammers / SPL-Science photo library / Biosphoto

Commentaire sur l'article

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  • Janvier 2017, 4e défi

    le 27 janvier 2017 à 13:37, par zgreudz

    Oui mais là on parle des sommets, pas des segments, la solution de Bernard passe par tous les sommets (mais effectivement pas par tous les segments).

    Amicalement

    Z.

    Répondre à ce message

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