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Un défi par semaine

Janvier 2018, 1er défi

Le 5 janvier 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 1 :

Combien de centimètres doit mesurer $x$ pour que la surface de la partie coloriée soit égale à celle du triangle $ABC$ ?

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Solution du 5e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est 120 nombres.

Observons que les résultats des puissances de $3$ qui nous intéressent sont : $3^0=1$, $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$ et $3^7>2017$.
Les nombres que nous devons trouver sont ceux qui peuvent s’écrire comme :
\[ \_\, 3^6 + \_\, 3^5 + \_\, 3^4 + \_\, 3^3+ \_\, 3^2 + \_\, 3^1 + \_\, 3^0, \]
où chaque case doit être substituée par le chiffre $0$ ou $1$.
Nous voyons que nous pouvons mettre $1$ dans chaque case puisque :
\[ 3^6 + 3^5 + 3^4 + 3^3+ 3^2 + 3^1 + 3^0=1093<2017.\]

Quelle que soit la manière de remplir ces cases, on obtiendra donc un nombre compris entre $0$ et $1093$. Comme il y a deux possibilités à chaque fois, cela fournit en principe $2^7 = 128$ possibilités. Cependant, comme l’énoncé demande que le nombre soit la somme d’au moins deux puissances différentes, il faut exclure le cas où toutes les cases sont à $0$ et les $7$ cas où seule l’une des cases est à $1$. Il y a donc $128 - 1 - 7 = 120$ possibilités.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Crédits image :

Image à la une - Mario Núñez

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2018, 1e défi

    le 5 janvier 2018 à 18:15, par jml83

    En identifiant les deux aires, je trouve x = 6.

    Répondre à ce message

  • Janvier 2018, 1e défi

    le 5 janvier 2018 à 19:52, par Celem Mene

    Appelons la distance AB : y.

    La superficie du triangle est : 15y / 2, soit 7.5 y.

    La superficie de la partie coloriée est de : 5y + 2 * 10, soit 5y + 20.

    Nous avons donc l’égalité suivante : 7.5 y = 5y + 20, soit y = 8.

    Si y = 8, x = 8 - 2, soit x = 6.

    Répondre à ce message

  • Méthode sans calcul ou presque

    le 6 janvier 2018 à 08:38, par Lina

    Bonjour,

    D’abord tracer le rectangle ABCD dont l’aire est double du triangle. Tracer la parallèle à (BD) à 4cm au dessus. Tracer la médiane verticale du grand rectangle ainsi formé au dessus de cette parallèle. On obtient trois rectangles de mêmes dimensions au dessus et deux 11x2 en dessous. Pour obtenir la relation il faut que le dernier rectangle ait la même aire et donc la même hauteur que les 3 du haut. Or sa hauteur est 4 donc x =4+2 = 6

    Répondre à ce message

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