Un défi par semaine

Janvier 2018, 4e défi

Le 26 janvier 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 4 :

Dans chaque case d’un damier de $1000\times 1000$, on écrit l’un des nombres suivants : $1, -1$ ou $0$. Ensuite, on ajoute tous les nombres écrits sur chaque ligne et sur chaque colonne, obtenant $2000$ résultats. Est-il possible de construire un damier de manière à ce que les $2000$ nombres obtenus soient tous distincts ?

Solution du 3e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $0$.

Nous allons voir que la plus petite valeur possible est $0$. Comme l’expression cherchée est positive, il suffit de donner un exemple pour lequel on obtient $0$.

Soit $n\geq 4$ un nombre entier. Considérons les nombres consécutifs $n$, $n+1$, $n+2$ et $n+3$. On peut changer de manière adéquate les signes $\bigcirc$ devant ces nombres pour obtenir 0, de la façon suivante :

$+ n - (n+1)- (n+2) +(n+3)=0.$

Pour les 3 premiers nombres on écrit $1+2-3$, et on regroupe les 804 nombres suivants en quadruplets $+ n - (n+1)- (n+2) +(n+3)$. De cette manière on obtient

$|1+ 2-3 +(4-5-6+7)+ (8-9-10+11)+\cdots +(+804-805-806+807)|=0.$

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2018, 3e défi

    le 26 janvier à 10:45, par Daniate

    On part d’un carré 2x2 rempli par 1 1 puis 0 -1. On l’agrandit par une couronne dont les 4 angles reprennent le même motif, le reste est complété par 1 s’il complète un alignement strictement positif et par -1 sinon. Cette construction se répète à l’identique pour passer d’un carré 2nx2n à un carré 2(n+1)x2(n+1).

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  • Janvier 2018, 3e défi

    le 26 janvier à 14:38, par Jérôme

    Même solution que Daniate.
    Mon raisonnement était de partir avec un carré où la première ligne est remplie de 1, et à chaque ligne suivante on change le 1 le plus à droite en -1. Ainsi, chaque ligne a une somme différente, mais les colonnes ont les même sommes que les lignes.
    Pour y remédier, en jouant avec les zéros, j’ai trouvé que l’on peut remplacer par des zéros les nombres sur la moitié de la diagonale, soit en bas à gauche, soit en haut à droite. Exemple avec un carré de 4×4 :
    1 1 1 1              1 1 1 0
    1 1 1 -1     ou   1 1 0 -1
    1 0 -1 -1           1 1 -1 -1
    0 -1 -1 -1          1 -1 -1 -1
    On obtient alors pour les sommes pour un carré de N×N :
    - d’un côté : N, N-2, N-4, ...2, -1, -3, ... -(N-1), de l’autre :
    - de l’autre : N-1, N-3, N-5, ..., 1, 0, -2, -4,... -(N-2)
    En gros, un côté a pour sommes les nombres pairs positifs et impairs négatifs plus N, et l’autre les nombres pairs négatifs et nombres impairs positifs plus 0.
    Bien sûr on peut aussi avoir les carrés « transposés », et les carrés miroirs avec les zéros sur l’autre diagonale.

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    • Janvier 2018, 3e défi

      le 26 janvier à 19:30, par jls666

      Attention à ne pas généraliser. Pour des N impairs, il me semble qu’il n’y a pas de solutions. (L’énoncé concerne un nombre pair.)

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  • Janvier 2018, 3e défi

    le 29 janvier à 15:56, par Ana Rechtman

    Je ne sais pas s’il y a ou pas de solution quand N est impair...

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    • Janvier 2018, 3e défi

      le 29 janvier à 17:14, par Niak

      Il n’y a pas de solution pour $N$ impair : voir par exemple l’OEIS, on peut en trouver une preuve (élémentaire mais non triviale) dans la première référence citée (ici, page 4).

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