Un défi par semaine

Janvier 2018, 4e défi

Le 26 janvier 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 4 :

Dans chaque case d’un damier de $1000\times 1000$, on écrit l’un des nombres suivants : $1, -1$ ou $0$. Ensuite, on ajoute tous les nombres écrits sur chaque ligne et sur chaque colonne, obtenant $2000$ résultats. Est-il possible de construire un damier de manière à ce que les $2000$ nombres obtenus soient tous distincts ?

Solution du 3e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $0$.

Nous allons voir que la plus petite valeur possible est $0$. Comme l’expression cherchée est positive, il suffit de donner un exemple pour lequel on obtient $0$.

Soit $n\geq 4$ un nombre entier. Considérons les nombres consécutifs $n$, $n+1$, $n+2$ et $n+3$. On peut changer de manière adéquate les signes $\bigcirc$ devant ces nombres pour obtenir 0, de la façon suivante :

$+ n - (n+1)- (n+2) +(n+3)=0.$

Pour les 3 premiers nombres on écrit $1+2-3$, et on regroupe les 804 nombres suivants en quadruplets $+ n - (n+1)- (n+2) +(n+3)$. De cette manière on obtient

$|1+ 2-3 +(4-5-6+7)+ (8-9-10+11)+\cdots +(+804-805-806+807)|=0.$

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Janvier 2018, 3e défi

    le 29 janvier 2018 à 17:14, par Niak

    Il n’y a pas de solution pour $N$ impair : voir par exemple l’OEIS, on peut en trouver une preuve (élémentaire mais non triviale) dans la première référence citée (ici, page 4).

    Répondre à ce message

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