Un défi par semaine

Janvier 2018, 3e défi

Le 19 janvier 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 3 :

Dans l’expression $|1\bigcirc 2\bigcirc 3 \bigcirc\cdots\bigcirc 806 \bigcirc 807|$ il faut remplacer chaque symbole $\bigcirc$ par un $+$ ou par un $-$. Quel est le plus petit nombre qu’on peut obtenir ? ($|\, x\, |$ indique la valeur absolue de $x$.)

Solution du 2e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $100$ cm.

Supposons que les rectangles originaux mesuraient $a$ cm de long et $b$ cm de large. Donc, en les coupant, les périmètres obtenus sont de

$2\left(\frac{b}{2}+a\right)=80$ cm et $2\left(\frac{a}{2}+b\right)=70$ cm.

En résolvant ce système d’équations, on obtient $a=30$ cm et $b=20$ cm. Par conséquent, le périmètre des rectangles originaux étaient de $2(30)+2(20)=100$ cm.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2018, 3e défi

    le 19 janvier à 08:01, par mesmaker

    La solution est zéro pour la même raison que
    (13) (-4+5) +(6-7) = 0+(1-1) = 0
    ou que
    (13) (-4+5) +(6-7) (-8+9) (10-11) =0+(1-1)+(1-1)= 0
    Cette écriture ne marche que si le nombre final est de la forme 2n+1 avec n impair
    tel que 807 = 2*403+1, 403 est impair.

    Pour les nombres finaux de la sorte 2n+1 avec n pair, une possible solution est 1
    car (13) (-4+5)+(6-7) (-8+9) ...= 0 +(1 -1) +1 ...= 1
    Mais est-il possible d’avoir 0 ? Je ne pense pas.

    Pour les nombres finaux pairs du type 2n avec n pair, la solution est aussi 0 car
    (1-2 -3+4) +(5-6 -7+8) ...(2n-3 -2n-2 -2n-1 +2n)= (-1+1) (-1+1) ...(-1+1)= 0

    Pour ceux du type 2n avec n impair, une possible solution est |-1|=1
    (1 -2) (-3+4) (6) (-7+8) (-9+10) = -111 = -1
    Mais est-il possible d’avoir 0 ? Je ne pense pas non plus.

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    • Janvier 2018, 3e défi

      le 19 janvier à 08:29, par Al_louarn

      En ajoutant le terme $-0$ au début de la suite on ne change pas le résultat, mais on obtient $808$ termes qu’on peut répartir en $202$ paquets de $4$ termes qui s’annulent tous :
      $|(-0+1+ 806-807)+(-2+3+804-805)+...+(-402+403+404-405)|=0$

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    • Janvier 2018, 3e défi

      le 19 janvier à 09:50, par Daniate

      Bonjour

      Obtenir 0 revient à partager l’ensemble en 2 parties de même somme c’est à dire que la somme de tous les nombres est paire. Dans le cas de 1 à n la somme est n(n+1)/2 qui n’est paire que pour n=4p ou n=4p-1.

      Répondre à ce message
  • Janvier 2018, 3e défi

    le 24 janvier à 00:24, par TLa____

    on peux faire des paquets de 4, nuls :
    +804-806-805+804 =0
    +800-802-801+800 =0
    ...
    7- 6- 5+ 4=0
    reste à gérer
    -3+2+1
    ou, plus élégamment :

    • 807+806+804-804 =0
    • 803+802+800-800 =0
      ...
      -7+ 6+ 5- 4=0
      -3+ 2+ 1- 0=0
      avec le +1 en contrainte.
    Répondre à ce message

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