Un défi par semaine

Janvier 2018, 3e défi

El 19 enero 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 3 :

Dans l’expression $|1\bigcirc 2\bigcirc 3 \bigcirc\cdots\bigcirc 806 \bigcirc 807|$ il faut remplacer chaque symbole $\bigcirc$ par un $+$ ou par un $-$. Quel est le plus petit nombre qu’on peut obtenir? ($|\, x\, |$ indique la valeur absolue de $x$.)

Solution du 2e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $100$ cm.

Supposons que les rectangles originaux mesuraient $a$ cm de long et $b$ cm de large. Donc, en les coupant, les périmètres obtenus sont de

$2\left(\frac{b}{2}+a\right)=80$ cm et $2\left(\frac{a}{2}+b\right)=70$ cm.

En résolvant ce système d’équations, on obtient $a=30$ cm et $b=20$ cm. Par conséquent, le périmètre des rectangles originaux étaient de $2(30)+2(20)=100$ cm.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Janvier 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

  • Janvier 2018, 3e défi

    le 19 de enero de 2018 à 08:01, par mesmaker

    La solution est zéro pour la même raison que
    (13) (-4+5) +(6-7) = 0+(1-1) = 0
    ou que
    (13) (-4+5) +(6-7) (-8+9) (10-11) =0+(1-1)+(1-1)= 0
    Cette écriture ne marche que si le nombre final est de la forme 2n+1 avec n impair
    tel que 807 = 2*403+1, 403 est impair.

    Pour les nombres finaux de la sorte 2n+1 avec n pair, une possible solution est 1
    car (13) (-4+5)+(6-7) (-8+9) ...= 0 +(1 -1) +1 ...= 1
    Mais est-il possible d’avoir 0 ? Je ne pense pas.

    Pour les nombres finaux pairs du type 2n avec n pair, la solution est aussi 0 car
    (1-2 -3+4) +(5-6 -7+8) ...(2n-3 -2n-2 -2n-1 +2n)= (-1+1) (-1+1) ...(-1+1)= 0

    Pour ceux du type 2n avec n impair, une possible solution est |-1|=1
    (1 -2) (-3+4) (6) (-7+8) (-9+10) = -111 = -1
    Mais est-il possible d’avoir 0 ? Je ne pense pas non plus.

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    • Janvier 2018, 3e défi

      le 19 de enero de 2018 à 08:29, par Al_louarn

      En ajoutant le terme $-0$ au début de la suite on ne change pas le résultat, mais on obtient $808$ termes qu’on peut répartir en $202$ paquets de $4$ termes qui s’annulent tous :
      $|(-0+1+ 806-807)+(-2+3+804-805)+...+(-402+403+404-405)|=0$

      Répondre à ce message
    • Janvier 2018, 3e défi

      le 19 de enero de 2018 à 09:50, par Daniate

      Bonjour

      Obtenir 0 revient à partager l’ensemble en 2 parties de même somme c’est à dire que la somme de tous les nombres est paire. Dans le cas de 1 à n la somme est n(n+1)/2 qui n’est paire que pour n=4p ou n=4p-1.

      Répondre à ce message
  • Janvier 2018, 3e défi

    le 24 de enero de 2018 à 00:24, par TLa____

    on peux faire des paquets de 4, nuls :
    +804-806-805+804 =0
    +800-802-801+800 =0
    ...
    7- 6- 5+ 4=0
    reste à gérer
    -3+2+1
    ou, plus élégamment :

    • 807+806+804-804 =0
    • 803+802+800-800 =0
      ...
      -7+ 6+ 5- 4=0
      -3+ 2+ 1- 0=0
      avec le +1 en contrainte.
    Répondre à ce message

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