Un défi par semaine

Janvier 2019, 1er défi

Le 4 janvier 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (19)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 1

Quel est le chiffre des unités de $S= 1!+2!+3!+\cdots+99!$ (où $n!=1\times 2\times\ldots\times n$) ?

Solution du 4e défi de décembre :

Enoncé

La solution est : $24\sqrt{5}\, cm$.

Soit $ABC$ un triangle rectangle avec un angle droit en $C$ et tel que $AB=100\, cm$, $BC=80\, cm$ et $CA=60\, cm$.
Traçons un segment $CD$ reliant sommet $C$ à l’hypoténuse, de telle manière que les périmètres des triangles $ADC$ et $DBC$ soient égaux.
Le problème consiste à déterminer la longueur de $CD$.

Comme les triangles $ADC$ et $DBC$ ont le même
périmètre, on a
\[CA+AD+CD=CD+DB+BC,\]
d’où
$CA+AD=DB+BC=\frac{240}{2}=120\, cm$. Comme $CA=60\, cm$, on obtient
$AD=120-60=60\, cm$.

Traçons la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ACD$ et appelons $E$ son pied. Comme le triangle $AEC$ est semblable au triangle $ACB$, on obtient
$\frac{AE}{60}=\frac{60}{100}$, d’où $AE=36\, cm$, et par
conséquent $ED=AD-AE=60-36=24\, cm$.
De même on obtient $\frac{CE}{60}=\frac{80}{100}$, d’où $CE=48\, cm$.
En appliquant le théorème de Pythagore\footnoteVoir dans l’appendice le théorème \refpitagoras. dans le triangle $CED$, on obtient alors
\[CD^2=ED^2+CE^2=24^2+48^2=5(24^2),\]
et il s’ensuit $CD=24\sqrt{5}\, cm$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - AGSANDREW/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Janvier 2019, 1er défi

    le 5 janvier 2019 à 17:29, par ROUX

    On peut diviser 100 ! par 10^24.
    La question est alors de trouver le chiffre des unités du résultat de cette division.
    Et, l’unité du résultat de cette division est l’unité du produit de toutes les unités de ce qui reste du développement en facteurs premiers de 100 ! à savoir les 73 2 multipliés par les 48 3 puis multipliés par les 16 7, etc. jusqu’à l’unique 97.
    J’ai obtenu la décomposition en facteurs premiers en bricolant une Excelerie. Dans cette même Excelerie, j’ai obtenu l’unité de toutes les puissances de tous les facteurs premiers jusqu’à 97 et j’ai fait le produit de toutes ces unités qui se termine par un 4.
    Alors, 4.
    Il me reste à comprendre les formules précédentes.
    Et il me reste à trouver, euh, par exemple le vingt-septième chiffre (en partant de la droite) de 100 !?

    Répondre à ce message

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