Un défi par semaine

Janvier 2019, 2e défi

Le 11 janvier 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 2

Pierre et Louis montent en marchant un escalier mécanique en mouvement.
Lorsque Pierre arrive en haut de l’escalier, il a monté $21$ marches alors que Louis, avec une vitesse double de celle de Pierre, en a monté $28$. Combien de marches l’escalier possède-t-il au repos ?

Solution du 1er défi de janvier :

Enoncé

La solution est $3$.

Notons que $5!=120$, donc pour tout nombre entier $n>4$, le nombre $n!$ est un multiple de $10$ et son chiffre des unités est $0$. Le chiffre des unités de $S= 1!+2!+3!+\cdots+99!$ est donc le même que celui de $S^\prime= 1!+2!+3!+4!=33$, c’est-à-dire $3$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - AGSANDREW/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2019, 2e défi

    le 11 janvier à 07:41, par drai.david

    Soit $d$ la longueur de l’escalier (en nombre de marches).
    Soit $v_e$ la vitesse de l’escalator.
    Soient $v_P$ et $t_P$ la vitesse et le temps de Pierre.
    Soient $v_L$ et $t_L$ la vitesse et le temps de Louis. On a donc $v_L=2v_p$.

    On a : $d=(v_e+v_P ) t_p=v_e t_P+v_P t_P=v_e t_P+21$ [A]
    et $d=(v_e+v_L ) t_L=v_e t_L+v_L t_L=v_e t_L+28$ [B]

    Ainsi : $v_e t_P+21=v_e t_L+28$ $\Leftrightarrow$ $v_e (t_P-t_L )=7$ [C]

    – $v_P t_P=21$ $\Leftrightarrow$ $v_P=21/t_P$ [D]

    – $v_L t_L=28$ $\Leftrightarrow$ $t_L=28/v_L =28/(2v_P )$ $\Leftrightarrow$ $t_L=14/v_P$ [E]

    En reportant [D] dans [E],on obtient : $t_L=14÷21/v_P =(14v_P)/21$ $\Leftrightarrow$ $t_L=2/3 t_P$ [E]
    En reportant [F] dans[C],on obtient : $v_e (t_P-t_L )=v_e (t_P-2/3 t_P )=v_e×t_P/3=7$ $\Leftrightarrow$ $ v_e t_P=21$ [G]
    En reportant [G] dans [A],on obtient : $d=v_e t_P+21=21+21$ $\Leftrightarrow$ $d=42$
    Conclusion : L’escalier possède 42 marches apparentes au repos.

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    • Janvier 2019, 2e défi

      le 11 janvier à 09:16, par Al_louarn

      Pour moi les vitesses mentionnées dans l’énoncé sont dans le référentiel terrestre et non dans celui de l’ecalator en mouvement, donc $v_P = \dfrac{d}{t_P}$.

      Soient $V_P$ et $V_L$ les vitesses relatives de Pierre et Louis par rapport à l’escalator en mouvement.
      Alors $V_P=\dfrac{21}{t_P}$ et $V_L=\dfrac{28}{t_L}$
      Mais $t_L = \dfrac{t_P}{2}$ donc $V_L=\dfrac{56}{t_P}$

      Ecrivons les relations d’addition des vitesses :
      $v_L = 2v_P = v_e + V_L$ (1)
      $v_P = v_e + V_P$ (2)

      En faisant (1) - (2) on obtient $v_P = V_L - V_P$, soit $\dfrac{d}{t_P} = \dfrac{56}{t_P} - \dfrac{21}{t_P}$, ce qui donne $d = 35$

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  • Janvier 2019, 2e défi

    le 11 janvier à 10:58, par Daniate

    Comme drai david je considère des vitesses intrinsèques. Quand Louis a fait 28 marches il voit Pierre 14 marches sous lui. Pour le rejoindre Pierre ne montera que 7 marches les 7 autres lui seront fournies par l’escalier. Quand Pierre grimpe 21 marches il s’élève de 42 marches, hauteur de l’escalier.

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  • Janvier 2019, 2e défi

    le 12 janvier à 09:47, par Daniate

    Et maintenant comme Al_Louarn les vitesses sont absolues.

    Quand Louis aura monté 28 marches l’escalier en aura fait défiler n, le nombre de marches est donc 28+n.
    Pierre sera à une hauteur de 14+n/2 mais n’aura monté que 14-n/2 marches. Il lui reste à grimper 14+n/2 en montant seulement 7+n/2 marches, les 7 manquantes lui sont fournies par l’escalier.
    .On obtient l’égalité de rapports :
    (14-n/2)/(7+n/2)=n/7=(14-n/2+n)/(7+n/2+7)=(14+n/2)/(14+n/2)=1
    Donc n=7 et l’escalier a 28+7=35 marches

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  • Janvier 2019, 2e défi

    le 12 janvier à 14:54, par Mario

    Soit x le nombre de marches de l’escalator.
    Pierre a monté $21$ marches pour arriver en haut de l’escalator et donc le temps qu’il arrive, $x - 21$ marches ont franchi le haut de l’escalator.
    Louis a monté $28$ marches, donc $x - 28$ marches ont franchi le haut de l’escalator.
    Comme Louis est monté deux fois plus vite, deux fois moins de marches ont franchi le haut de l’escalator.
    Autrement dit,
    $x - 21 = 2(x - 28)$.
    On obtient $x = 35$.
    L’escalator possède $35$ marches au repos.

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