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Un défi par semaine

Janvier 2019, 3e défi

Le 18 janvier 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 3

Quel est le plus petit multiple positif de $1998$ qui contient uniquement les chiffres $0$ et $3$ ?

Solution du 2e défi de janvier :

Enoncé

La solution est $42$ marches.

Désignons par $x$ le nombre total de marches que possède l’escalier mécanique au repos et par $t$ le temps nécessaire à une marche pour passer d’une position à la suivante. De cette manière, une personne au repos (sans action de sa part) mettra un temps $xt$ à monter l’escalier. Puisque Pierre monte $21$ marches, il arrive en haut en un temps égal à $(x-21)t$ et pour monter une marche il a pris un temps égal à $\frac{(x-21)t}{21}$. D’une façon similaire, le temps pris par Louis pour monter chaque marche est $\frac{(x-28)t}{28}$. Puisque la vitesse de Louis est le double de celle de Pierre, le temps pris par Pierre pour monter une marche est le double de celui pris par Louis. Nous avons donc :

$\frac{(x-21)t}{21}=\frac{2(x-28)t}{28}$

d’où :

$\frac{x-21}{21}=\frac{x-28}{14}.$

En résolvant cette équation, nous obtenons :

$14(x-21) = 21(x-28)$

$2(x-21) = 3(x-28)$

$2x-42 = 3x-84 $

$x = 42.$

Ainsi, l’escalier mécanique possède $42$ marches.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Janvier 2019, 3e défi

le 18 janvier 2019 à 07:14, par drai.david

Comme $1998=666\times 3$, le problème revient à chercher le plus petit multiple positif de $666$ qui contient uniquement les chiffres $0$ et $1$.
Or, 666 est pair et multiple de 9, donc les multiples de $666$ qui contiennent uniquement des $0$ et des $1$ se terminent par un $0$ et contiennent un nombre de $1$ multiple de $9$.
Par chance, le plus petit candidat est le bon : $1$ $111$ $111$ $110$.
Le nombre recherché est donc $3$ $333$ $333$ $330=1$ $998\times 1$ $668$ $335$.
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Janvier 2019, 3e défi

le 18 janvier 2019 à 07:18, par drai.david

Remarque : $2$ $019\times 148$ $737=300$ $300$ $003$.
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Janvier 2019, 3e défi

le 19 janvier 2019 à 18:49, par ROUX

Certes...
Je sèche car, la pratique du grignotage successif des chiffres en passant toujours par le plus petit nombre ne m’aurait pas permis d’atteindre le résultat pour 1998 car prendre 3335 m’éloignait pour toujours de la solution qui passait par 8335 pour 1998.
Là, le grignotage donne votre solution...
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Janvier 2019, 3e défi

le 20 janvier 2019 à 12:59, par drai.david

Je pense que cette réponse ne m’est pas destinée...
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Janvier 2019, 3e défi

le 20 janvier 2019 à 13:23, par ROUX

Si si...
Vous remarquez que 2019 * 148737 donne un nombre avec seulement des 0 et des 3.
Mais, 2019 = 3*673 et 673 est premier : vous ne pouvez donc pas construire avec la même élégance le fameux plus petit multiple (élégance de remarquer que 1998 = 3*666, 666 étant lui-même multiple de gnagna...).
Donc, comment avez-vous abouti à votre remarque sur 2019 ?
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Janvier 2019, 3e défi

le 20 janvier 2019 à 15:31, par drai.david

Par simple curiosité, j’ai essayé de voir si le problème possédais aussi une solution avec 2019. À tout hasard j’ai donc écrit un petit programme. Et la véritable surprise a été que la solution arrive aussi vite...
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Janvier 2019, 3e défi

le 18 janvier 2019 à 11:48, par Pierre Cami

Faire apparaitre le (ou les) 0 et les 3.
Le dernier chiffre du multiplicateur ne peut être autre que 5
5*1998=9990 fait apparaitre le 0
le 2ème chiffre doit faire apparaitre 3, c’est 3 : 35*1998=69930
le troisième chiffre doit faire apparaitre 3, c’est 3 : 335*1998=669330
le quatrième chiffre doit faire apparaitre 3, c’est 8 : 8335*1998=16653330
le cinquième aussi, c’est 6 : 68335*1998=136533330
le sixième aussi, c’est 6 : 668335*1998=1335333330
enfin faire apparaitre le dernier 3 grâce à 1 : 1668335*1998=3333333330
soit la solution 1668335
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Janvier 2019, 3e défi

le 19 janvier 2019 à 18:38, par ROUX

Pour le 4ème chiffre, 3335*1998=6663330 faisait apparaître un 3 au même endroit que 8335*1998=16653330.
Pourquoi avez-vous alors choisi 8335 plutôt que 3335 ?
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Janvier 2019, 3e défi

le 20 janvier 2019 à 12:48, par Pierre Cami

Quand 3335 ne mène à rien on essaye autre chose !
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