Enoncé

La solution est : $3\,333\,333\,330$.

Soit $N$ le plus petit multiple positif de $1998$ qui contienne uniquement les chiffres 0 et 3.

$N$ est de la forme $N=d_1d_2d_3 \cdots d_n$ avec $d_i=0$ ou $3$ et $d_n=0$ puisque le dernier chiffre de $1998$ est $8$ et qu’aucun multiple de $8$ ne finit par $3$. $N$ est donc pair.

Nous avons aussi $\frac{N}{3}=e_1e_2e_3 \cdots e_n$ o√π $e_i=1$ si $d_i =3$ et $e_i=0$ dans l’autre cas.

Puisque $\frac{N}{3}$ est multiple de $9$ ($1998$ est en effet égal à $74\times 9\times 3$), il existe au moins $9$ chiffres 1 parmi les
$e_i$ pour avoir une somme des chiffres divisible par $9$, et comme $e_n=0$, le plus petit candidat pour $\frac{N}{3}$ est
$1\,111\,111\,110$.

Ainsi, le plus petit nombre $N$ est
$3\,333\,333\,330=1998\times 1\,668\,335$.