Un défi par semaine

Janvier 2019, 4e défi

Le 25 janvier 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 4

Ernest est parti en vacances durant quelques jours et il a noté qu’il a plu sept fois durant ses vacances. Quand il pleuvait le matin, le temps était clair l’après-midi. De plus, il n’a pas plu cinq après-midi et six matins.
Combien de jours ont duré les vacances d’Ernest ?

Solution du 3e défi de janvier :

Enoncé

La solution est : $3\,333\,333\,330$.

Soit $N$ le plus petit multiple positif de $1998$ qui contienne uniquement les chiffres 0 et 3.

$N$ est de la forme $N=d_1d_2d_3 \cdots d_n$ avec $d_i=0$ ou $3$ et $d_n=0$ puisque le dernier chiffre de $1998$ est $8$ et qu’aucun multiple de $8$ ne finit par $3$. $N$ est donc pair.

Nous avons aussi $\frac{N}{3}=e_1e_2e_3 \cdots e_n$ o√π $e_i=1$ si $d_i =3$ et $e_i=0$ dans l’autre cas.

Puisque $\frac{N}{3}$ est multiple de $9$ ($1998$ est en effet égal à $74\times 9\times 3$), il existe au moins $9$ chiffres 1 parmi les
$e_i$ pour avoir une somme des chiffres divisible par $9$, et comme $e_n=0$, le plus petit candidat pour $\frac{N}{3}$ est
$1\,111\,111\,110$.

Ainsi, le plus petit nombre $N$ est
$3\,333\,333\,330=1998\times 1\,668\,335$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - AGSANDREW/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2019, 4e défi

    le 25 janvier à 08:01, par Al_louarn

    Posons
    $m=$ nombre de jours où il a n’a plu que le matin
    $a=$ nombre de jours où il a n’a plu que l’après-midi
    $s=$ nombre de jours sans pluie
    Alors, comme il n’a jamais plu le matin et l’après-midi du même jour, le nombre total de jours de vacances est $v=m+a+s$, d’où $2v=(m+s)+(a+s)+(m+a)$
    D’après l’énoncé on a :
    $m+s=5$
    $a+s=6$
    $m+a=7$
    Donc $2v=5+6+7=18$, d’où $v=9$

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  • Janvier 2019, 4e défi

    le 25 janvier à 10:28, par Daniate

    La fausse position donne une solution beaucoup moins simple mais sans inconnue.

    On considère que les 6 matins et 5 après midi ensoleillés sont conservés.

    En ajoutant un jour de pluie le matin, on ajoute un jour au séjour et 1 jour de pluie l’après midi c’est à dire 2 jours de pluie.

    Si le séjour dure 6 jours il y aura 1 jour de pluie. Pour passer à 7 jours de pluie il faut ajouter 3 jours au séjour.

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  • Janvier 2019, 4e défi

    le 25 janvier à 16:23, par Daniate

    Petite variation probabiliste maintenant. v reste la durée des vacances.

    A est la proba pour Ernest d’avoir un matin sans pluie : p(A) = 6/v

    B est la proba pour Ernest d’avoir un après midi sans pluie : p(B) = 5/v

    p(A et B) = (v-7)/v et p(A et B) = 1 puisqu’il ne peut pas pleuvoir toute la journée.

    La relation fondamentale donne 6/v+5/v = (v-7)/v+1 qui se ramène à 11 = 2v-7 et v = 9

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  • Janvier 2019, 4e défi

    le 26 janvier à 10:42, par Daniate

    Autre raisonnement arithmétique :

    Pendant les jours de beau temps il y a autant de matins que d’après midi. L’écart de 1 provient des 7 jours pluvieux d’où 4 matins ensoleillés suivis d’après midi pluvieux. Il faut ajouter 2 jours de beaux temps pour avoir les 6 matins soit 7+2= 9 jours de vacances.

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  • Janvier 2019, 4e défi

    le 27 janvier à 20:26, par Daniate

    Ultime intervention,

    Si on ajoute le nombre de matin ensoleillés au nombre d’après midi ensoleillés on obtient 2 fois le nombre de jours sans pluie , une fois le nombre de matin pluvieux, 1 fois le nombre d’après midi pluvieux. En ajoutant le nombre de jours pluvieux on ajoute 1 fois à chaque nombre des derniers termes, soit 2 fois les 3 nombres. Or les vacances durent la somme des 3 nombres. Il suffit donc de les les additionner puis diviser par deux. (Quels que soit les 3 nombres).

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