Janvier 2019, 4e défi

Le 25 janvier 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 4

Ernest est parti en vacances durant quelques jours et il a noté qu’il a plu sept fois durant ses vacances. Quand il pleuvait le matin, le temps était clair l’après-midi. De plus, il n’a pas plu cinq après-midi et six matins.
Combien de jours ont duré les vacances d’Ernest ?

Solution du 3e défi de janvier :

Enoncé

La solution est : $3\,333\,333\,330$.

Soit $N$ le plus petit multiple positif de $1998$ qui contienne uniquement les chiffres 0 et 3.

$N$ est de la forme $N=d_1d_2d_3 \cdots d_n$ avec $d_i=0$ ou $3$ et $d_n=0$ puisque le dernier chiffre de $1998$ est $8$ et qu’aucun multiple de $8$ ne finit par $3$. $N$ est donc pair.

Nous avons aussi $\frac{N}{3}=e_1e_2e_3 \cdots e_n$ o√π $e_i=1$ si $d_i =3$ et $e_i=0$ dans l’autre cas.

Puisque $\frac{N}{3}$ est multiple de $9$ ($1998$ est en effet égal à $74\times 9\times 3$), il existe au moins $9$ chiffres 1 parmi les
$e_i$ pour avoir une somme des chiffres divisible par $9$, et comme $e_n=0$, le plus petit candidat pour $\frac{N}{3}$ est
$1\,111\,111\,110$.

Ainsi, le plus petit nombre $N$ est
$3\,333\,333\,330=1998\times 1\,668\,335$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Janvier 2019, 4e défi

le 27 janvier 2019 à 20:26, par Daniate

Ultime intervention,

Si on ajoute le nombre de matin ensoleillés au nombre d’après midi ensoleillés on obtient 2 fois le nombre de jours sans pluie , une fois le nombre de matin pluvieux, 1 fois le nombre d’après midi pluvieux. En ajoutant le nombre de jours pluvieux on ajoute 1 fois à chaque nombre des derniers termes, soit 2 fois les 3 nombres. Or les vacances durent la somme des 3 nombres. Il suffit donc de les les additionner puis diviser par deux. (Quels que soit les 3 nombres).
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