Un défi par semaine

Janvier 2020, 1er défi

Le 3 janvier 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 1

Déterminer les entiers strictement positifs $n$ tels que $n^2 + 1$ divise $n^2 + 5n+2$.

Solution du 4e défi de décembre :

Enoncé

La solution est $407$ triangles.
Pour compter les triplets de points qui forment des triangles non plats, on peut compter les triplets de points et retrancher le nombre de triplets de points alignés.

Pour ce qui est du nombre de triplets quelconques, comme il
y a 15 points, c’est $\binom{15}3=\frac{15\times 14\times 13}{3\times 2\times 1}=455$.

Pour ce qui est des triplets de points alignés, on peut remarquer que soit ils sont alignés parallèlement à un des côtés du grand triangle que forment les 15 points, soit ils sont alignés le long d’une hauteur de ce grand triangle.

S’ils sont parallèles à un côté (par exemple le
côté horizontal), alors ils peuvent être soit sur ce côté
soit sur une des deux parallèles à ce côté, ce qui fait
$\binom53+\binom43+\binom33=10+4+1=15$ possibilités pour chaque
direction. S’ils sont alignés sur une hauteur, il n’y a qu’une
possibilité par hauteur.
En tout, le nombre de triplets de points alignés est donc $3\times 15+3=48$.

Le nombre de triangles non plats est donc
$455-48=407$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - LIGHTSPRING / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2020, 1er défi

    le 3 janvier à 10:04, par drai.david

    Je résous le problème dans $\mathbb{Z}$ car c’est plus intéressant...
    $n^2+1$ doit diviser $n^2+5n+2 - (n^2+1)$, donc $n^2+1$ doit diviser $5n+1$.
    Ainsi, il doit existe un entier $k$ tel que : $5n+1=k(n^2+1)$, ce qui équivaut à :
    $kn^2-5n+k - 1=0$.
    Cette équation du second degré en $n$ n’a de solutions que si le discriminant est positif.
    $\Delta =(-5)^2-4k(k-1)=-4k^2+4k+25$.
    $\Delta \geq 0\Leftrightarrow -4k^2+4k+25\geq 0$.
    $\Delta '=4^2-4\times (-4)\times 25=416=4^2\times 26$.
    $k_1=\frac{1-\sqrt{26}}{2}\approx -2,05$ et $k_2=\frac{1+\sqrt{26}}{2}\approx 3,05$.
    D’où $-2\leqslant k \leqslant3$.
    On teste les 6 valeurs de $k$ :
    $k=-2$ fournit $n=-1$, $k=1$ fournit $n=0$ et $n=5$ et $k=3$ donne $n=1$.
    Ainsi, $n\in\left \{ -1;0;1;5\right \}$.

    Répondre à ce message
    • Janvier 2020, 1er défi

      le 3 janvier à 13:04, par Niak

      Un peu plus directement, si $n^2+1$ divise $5n+1$, alors $0\leq n^2+1\leq |5n+1|$ ce qui donne $n\leq5$ pour $n\geq0$ et $|n|\leq 5-\frac{2}{|n|}<5$ pour $n<0$. D’où l’encadrement $-4\leq n\leq 5$.

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  • Janvier 2020, 1er défi

    le 3 janvier à 10:09, par Gérard JONEAUX

    pour que a divise b, soit a et b sont égaux, soit b-a divise b.
    Donc soit 5x=x², alors x n’est pas entier, soit x²+1 divise 5x+1
    x = 1 ou 5..

    Répondre à ce message
    • Janvier 2020, 1er défi

      le 3 janvier à 10:46, par drai.david

      « pour que $a$ divise $b$, soit $a$ et $b$ sont égaux, soit $b-a$ divise $b$. »  ???
      J’avoue que je ne comprends pas.
      Par exemple, si $b=3$ alors $a$ divise $b$ si et seulement si $a=1$ ou $a=3$.
      Mais avec votre « propriété », on obtient :
      Pour que $a$ divise $3$, soit $a=3$, soit $3-a$ divise $3$. Or la solution $a=1$ n’est fournie par aucun de vos deux cas, puisque $2$ ne divise pas $3$ !
      Par ailleurs l’équation $5x=x^2$ admet deux solutions entières (dont une strictement positive comme demandé) : $0$ et $5$ !
      Donc votre raisonnement m’échappe de A à Z...
      Cordialement.

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  • Janvier 2020, 1er défi

    le 3 janvier à 11:50, par Gérard JONEAUX

    Oh ! Merci de m’avoir corrigé !
    J’avais écrit : pour que a divise b, soit a et b sont égaux, soit b-a divise b,
    au lieu de : pour que a divise b, soit a et b sont égaux, soit a divise b-a.

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    • Janvier 2020, 1er défi

      le 3 janvier à 12:54, par Niak

      Cela dit, si $a=b$ alors $a$ divise aussi $b-a=0$ (du moins pour $a\neq0$).

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  • Janvier 2020, 1er défi

    le 5 janvier à 04:28, par Ana Rechtman

    Bonne année à tous !

    Les textes mensueles du calendrier seront publiés ici : https://www.lemonde.fr/blog/binaire/

    Bonne lecture !

    Répondre à ce message

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