Un défi par semaine

Janvier 2020, 2e défi

Le 10 janvier 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 2

Un carré de côté $3$ cm est découpé de la manière suivante. Quel pourcentage de l’aire est colorié ?

Solution du 1er défi de janvier :

Enoncé

La solution est $1$ et $5$.

On constate que $n^2 + 5n + 2 = \left(n^2 + 1\right) + \left(5n + 1\right)$. Ainsi, si $n$ est tel que $n^2+1$ divise $n^2 + 5n + 2$, il doit également diviser $5n+1$ et, en particulier, lui être inférieur ou égal.

Or, comme $n > 0$, l’inégalité $n^2 + 1 \leq 5n+1$ donne $n^2 \leq 5n$, puis $n \leq 5$ : on peut donc vérifier les cinq cas à la main.

  • Si $n = 1$, on a $n^2 + 1 = 2$, $5n+1 = 6$ (et $n^2 + 5n + 2 = 8$) : ce nombre convient.
  • Si $n = 2$, on a $n^2 + 1 = 5$, $5n+1 = 11$ (et $n^2 + 5n + 2 = 16$) : ce nombre ne convient pas.
  • Si $n = 3$, on a $n^2 + 1 = 10$, $5n+1 = 16$ (et $n^2 + 5n + 2 = 26$) : ce nombre ne convient pas.
  • Si $n = 4$, on a $n^2 + 1 = 17$, $5n+1 = 21$ (et $n^2 + 5n + 2 = 38$) : ce nombre ne convient pas.
  • Si $n = 5$, on a $n^2 + 1 = 26$, $5n+1 = 26$ (et $n^2 + 5n + 2 = 52$) : ce nombre convient.

Ainsi, les nombres cherchés sont $1$ et $5$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - LIGHTSPRING / SHUTTERSTOCK

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  • Janvier 2020, 2e défi

    le 10 janvier à 08:37, par Al_louarn

    La zone bleue est formée de $4$ grands triangles rectangles identiques. Les côtés de l’angle droit mesurent $1$ et $3$ donc l’hypothénuse $c$ vérifie $c^2=1^2+3^2=10$. La somme de leurs aires est $2 \times 1 \times 3 = 6$.
    Mais ils se chevauchent et les zones de chevauchement sont $4$ petits triangles rectangles de petits côtés $a$ et $b$ (avec $a < b$), et d’hypothénuse $1$. L’aire totale de ces petits triangles est donc $2ab$. Ils sont semblables aux grands car ils ont les mêmes angles, ce qui permet d’écrire $\dfrac{a}{1}=\dfrac{1}{c}$ et $\dfrac{b}{1}=\dfrac{3}{c}$. On en tire $2ab=\dfrac{6}{c^2}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$.
    L’aire de la zone bleue est donc $6-2ab=6 - \dfrac{3}{5}=\dfrac{27}{5}$. Comme l’aire du grand carré est $3^2=9$, on obtient un rapport de $\dfrac{27}{5 \times 9}=\dfrac{3}{5}$, soit $60$%.

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