Un défi par semaine

Janvier 2020, 4e défi

Le 24 janvier 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 4

En écrivant trois fois de suite l’âge de Victor, on obtient un nombre à six chiffres, égal au produit de son âge, de celui de sa femme, et de ceux, tous différents, de leurs quatre filles. Quel est l’âge de son aînée ?

Solution du 3e défi de janvier :

Enoncé

Que trois nombres aient une somme paire signifie qu’ils sont tous les trois pairs, ou qu’exactement l’un des trois est pair. Dans tous les cas, l’un au moins doit être pair. Puisqu’il s’agit ici de nombres premiers, l’un au moins des trois doit valoir $2$. L’ordre des facteurs n’ayant pas d’importance dans l’expression à calculer, on peut supposer $p = 2$.

On a alors
\[ \begin{array}[cc] \\ pqr &-2(pq+qr+rp)+4(p+q+r) =\\ & =2qr- 4q -2qr -4r + 8 + 4q + 4r \\ &= 8. \end{array} \]

La solution est $8$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - LIGHTSPRING / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2020, 4e défi

    le 24 janvier à 07:55, par mesmaker

    Elle a 13 ans.
    *
    Posons que l’âge du père soit « ab » composé de deux chiffres a et b. Alors écris trois fois cela donne ababab = ab*10000+ab*100+ab = ab*(10101). Ce dernier nombre est égal au produit de ab par l’âge de sa femme et de ses quatre filles. Il suffit alors de décomposer le nombre 10101 en facteurs premiers.
    ab*10101 = ab*37*13*7*3*(1)= âge_père*âge_mère*âge_f1*âge_f2*âge_f3*âge_f4
    Comme la décomposition en facteurs premiers est unique et par les lois de la biologie qui veut qu’une mère soit plus âgée que ses filles : sa femme a alors 37 ans et ses quatre filles ont donc 13, 7, 3 et 1 ans.

    Répondre à ce message
  • Janvier 2020, 4e défi

    le 24 janvier à 08:06, par Al_louarn

    Ecrire $3$ fois de suite l’âge $v$ de Victor donne un nombre à $6$ chiffres donc $v$ a $2$ chiffres et le nombre obtenu est $10101v$.
    Le produit des âges de ses filles et de sa femme est donc $10101$, dont la décomposition en facteurs premiers est $10101 = 3 \times 7 \times 13 \times 37$.
    Comme cette décomposition est unique, ce nombre s’écrit de façon unique en produit de $5$ nombres entiers : $10101 = 1 \times 3 \times 7 \times 13 \times 37$.
    L’aînée a donc $13$ ans.

    Répondre à ce message

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