Un défi par semaine

Janvier 2021, 1er défi

Le 1er janvier 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 1

Quatre personnes discutent de leur âge.
Deux d’entre elles mentent et les deux autres sont honnêtes.

Alfred dit : « Bernard est le plus jeune ».

Louis : « Je suis le plus jeune ».

Hector : « Bernard est le plus vieux et je suis le plus jeune ».

Bernard : « Je ne suis ni le plus jeune ni le plus vieux ».

Qui dit la vérité ?

Solution du 4e défi de décembre :

Enoncé

La réponse est : Neuf nombres.

Entre 1 et 20, il y a huit nombres premiers, à savoir 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.

Si on rajoute 1 à cette liste on a neuf nombres qui ont la propriété voulue : deux quelconques d’entre eux n’ont que 1 comme diviseur commun.

Pour voir qu’on ne peut pas faire mieux, supposons qu’on ait 10 nombres qui vérifient la propriété. Alors il y en a au moins neuf qui sont différents de 1, et donc au moins deux qui sont des multiples de l’un des huit nombres premiers cités.

Ces deux-là ont alors un diviseur commun différent de $1$, ce qui contredit l’hypothèse.

Par conséquent il y a au plus neuf nombres vérifiant la propriété.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2021, 1er défi

    le 1er janvier à 11:25, par Veurius

    Alfred, Louis et Hector donnent tous les trois le nom d’un plus jeune (chacun différent). Deux d’entre eux au moins (exactement selon l’énoncé) mentent. Donc Bernard dit la vérité, ce qui fait mentir Alfred et Hector. Le second qui dit la vérité est alors Louis (qui de ce fait est le plus jeune).

    Bonne année à toutes et tous.

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  • Janvier 2021, 1er défi

    le 2 janvier à 14:37, par ROUX

    ALHB.
    Si A dit vrai, il invalide les trois autres propositions ; or, il n’y a que deux menteurs donc A ment.
    Ensuite, j’ai regardé B qui si il dit vrai rend faux ce que dit H et vrai ce que dit L.
    J’ai vérifié que si B dit faux, alors H dit vrai mais L dit faux ce qui avec A fait alors un total de à nouveau trois menteurs.
    Bernard et Louis disent la vérité.

    Consternante proportion de prénoms genrés masculins dans un site qui pense peut-être lutter efficacement contre les sinistres proportions homme/femme...

    Répondre à ce message
  • Janvier 2021, 1er défi

    le 2 janvier à 16:36, par Al_louarn

    Les personnes qui disent la vérité ne peuvent pas se contredire mutuellement. Seuls Louis et Bernard sont dans ce cas.

    Répondre à ce message

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