Un défi par semaine

Janvier 2021, 5e défi

Le 29 janvier 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 5

Combien de couples de nombres premiers $(p,q)$ sont tels que $p^q+1$ soit toujours un nombre premier ?

Solution du 4e défi de janvier :

Enoncé

La réponse est : $\pi~\text{cm}^2$.

Si $R$ est le rayon du cercle circonscrit à l’hexagone et $r$ le rayon de son cercle inscrit, l’aire recherchée est égale à :
\[\pi R^2-\pi r^2 = \pi(R^2-r^2).\]
Notons $[AB]$ un côté de l’hexagone, $M$ son milieu et $O$ le centre des deux cercles.

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On a alors $AM=1$ cm, $OM=r$ et $OA=R$.

Le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle $OAM$ fournit l’égalité

$1^2+r^2=R^2$ ou $R^2-r^2=1$.

L’aire recherchée est alors égale à $\pi~\text{cm}^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2021, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2021, 5e défi

    le 29 janvier à 12:52, par Blaxapate

    Si $p$ est impair, alors $p^q+1$ est pair, et ne peut être premier. Donc $p=2$.

    Si $q$ est impair, $2^q+1$ est divisible par 3. Donc $q=2$.

    $2^2+1=5$ est la seule solution.

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  • Janvier 2021, 5e défi

    le 29 janvier à 18:30, par ROUX

    2^(2.r+1)+1=N si q=2.r+1 puisque q est impair.

    N=(2^2)^r.2+1=4^r.2+1.

    4=3+1 donc 4^r=(3+1)^r=3^r+r.3^(r-1)+...+1^r=3.K+1.

    Donc N=(3.K+1).2+1=3.K’+2+1=3.K’’.

    Ok.

    Répondre à ce message
    • Janvier 2021, 5e défi

      le 1er février à 13:46, par Lhooq

      Cher Roux ;-P
      Il existe dans les commentaires de ce site la possibilité de styliser les formules mathématiques avec LaTeX, il suffit simplement d’écrire les équations entre deux symboles $

      Ainsi, ce paragraphe relativement difficile à lire devient :

      $2^{2r+1}+1=N$ si $q=2r+1$ puisque $q$ est impair.

      $N=2^{2^r}.2+1=4^r.2+1$

      $4=3+1$ donc $4^r=(3+1)^r=3^r+r.3^{r-1}+...+1^r=3.K+1$.

      Donc $N=(3.K+1).2+1=3.K’+2+1=3.K’’$.

      Ok.

      Sinon, une autre preuve :

      $2 \equiv -1 \text{ mod } 3$
      $2^k \equiv (-1)^k \text{ mod } 3$
      Si k est impair, $(-1)^k = -1$
      Ainsi
      $2^{2n+1} \equiv -1 \text{ mod } 3$
      Et donc
      $2^{2n+1} + 1 \equiv 0 \text{ mod } 3$

      Ce qui permet aussi de montrer que
      $2^{2n} \equiv 1 \text{ mod } 3$
      et donc
      $2^{2n} - 1 \equiv 0 \text { mod } 3$

      Ou encore (d’après une identité remarquable : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/IdentAut.htm)

      $(x + 1)(x^{k-1} - x^{k-2} + x^{k-3} - ... - x + 1) = x^k + 1$ lorsque $k$ est impair. En remplaçant $x$ par $2$ on retrouve bien $2^{2n+1} + 1 = 3.X$

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      • Janvier 2021, 5e défi

        le 1er février à 13:55, par ROUX

        Carrés !!! et donc $n^2$ :) :) :)

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  • Janvier 2021, 5e défi

    le 30 janvier à 10:44, par François

    D’une façon générale si $\displaystyle{p^q+1}$ est premier alors $q$ est une puissance de $2$. En effet si $\displaystyle{q=2^k.r}$ avec r impair alors $\displaystyle{p^q+1=\left( p^{2^k} \right) ^r-(-1)^r}$ qui est divisible par $\displaystyle{p^{2^k}+1}$ (identité remarquable $a^n-b^n=(a-b)(...)$).La réciproque est fausse : pour $p=2$ et $\displaystyle{N=2^{2^k}+1}$
    si $k=1$, $N=5$
    si $k=2$, $N=17$
    si $k=3$, $N=257$
    si $k=4$, $N= 65537$ qui est premier
    mais si $k=5$, $N= 4294967297=641.6700417$ idem pour $k=6$.
    J’ignore s’il existe d’autres valeurs de $k>6$ pour lesquelles N est premier.

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    • Janvier 2021, 5e défi

      le 30 janvier à 12:58, par Blaxapate

      On l’ignore tous ! Ces nombres de la forme $2^{2^k}+1$ sont les nombres de Fermat, aucun de ceux (au-delà de 65537) dont la factorisation a été calculée ne sont premiers, mais rien ne garantit qu’il n’existe pas un très grand nombre premier de Fermat.

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    • Janvier 2021, 5e défi

      le 30 janvier à 13:02, par Niak

      En effet, ce sont les nombres premiers de Fermat (OEIS). En ajoutant $N=3$ ($k=0$), vous avez cité les cinq actuellement connus. Il est généralement conjecturé qu’il n’y en a pas d’autre, mais c’est encore un problème ouvert (le plus « petit » dont le statut est inconnu est $k=33$, il a environ $\log_{10}\left(2^{2^{33}} + 1\right) \approx 2.6 \cdot 10^9$ chiffres).

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      • Janvier 2021, 5e défi

        le 30 janvier à 13:21, par Niak

        Arg, Blaxapate a publié la même chose 4 min avant !
        Bon ben pour la peine, il y a aussi les nombres premiers de Mersenne (OEIS) de la forme $2^n-1$. Il faut clairement $n$ premier (même identité remarquable que dans le message de François). On conjecture généralement cette fois qu’il y en a une infinité (je ne sais pas précisément combien sont connus aujourd’hui, mais au moins une cinquantaine).

        Répondre à ce message

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