Janvier 2023, 3e défi

Le 20 janvier 2023 - Ecrit par Romain Joly Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Tous les premiers vendredis du mois, retrouvez « Le défi du mois » : un défi sans mathématique très complexe mais parfois éloigné du cadre scolaire. Il pourrait vous donner du fil à retordre...

Le calendrier mathématique 2023 s’intitule « Structurer le Monde ».

L’être humain a toujours cherché les symétries, les ressemblances et les structures dans la nature, la géométrie et les nombres. Vous découvrirez à travers 12 textes superbement illustrés la vision mathématique moderne de ces structures et de leurs applications, des pavages du palais de l’Alhambra aux collisions des accélérateurs de particules.

La calendrier est en vente ici ou chez votre libraire favori.

Semaine 3

Dans la grille ci-dessous, Gaby a barré quatre cases et Pénélope en a barré quatre autres. Si l’on sait que la somme des nombres barrés par Pénélope est le triple de la somme de ceux barrés par Gaby, quel nombre n’a pas été barré ?

Solution du 2e défi de janvier 2023 :

Enoncé

Réponse : 1473.

On a l’addition suivante :

\[ \begin{array}{ccccl} & a & b & c & d\\ + & & b & c & d\\ + & & & c & d\\ + & & & & 4\\ \hline & 2 & 0 & 2 & 3 \end{array} \]

On observe tout d’abord que $3d+4$ se termine par $3$, donc $3d$ se termine par $9$, ce qui signifie que $d=3$.

Puisque $3d+4=13$, on en déduit que $3c+1$ se termine par $2$.

Il suit que $3c$ se termine par $1$, donc $c=7$ et $3c+1=22$.

Ensuite, on note que $2b+2$ se termine par $0$, ce qui donne que $b=4$ ou $b=9$.
Mais si $b=9$, alors $2b+2=20$ et donc $a=0$, ce qui n’est pas possible car $abcd$ doit être un nombre à quatre chiffres.

Ainsi, $b=4$, ce qui implique que $a+1=2$ et donc $a=1$. En conclusion, le nombre à quatre chiffres recherché est
$abcd=1473$.

Post-scriptum :

Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.

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Janvier 2023, 3e défi

le 20 janvier à 09:29, par Kamakor

Notons $g$ la somme des nombres rayés par Gaby et $n$ le nombre qui n’a pas été rayé.
Alors on a $\hspace{.5cm} g+3g+n=1+2+3+4+5+6+7+8+9\hspace{.5cm}$ soit $\hspace{.5cm}4g+n=45\hspace{.5cm}$
De plus, $1 \leq n \leq 9\hspace{.5cm}$ et $\hspace{.5cm}10 \leq g \leq 30$.
$\ast$ Si $g=10\hspace{.5cm}$ alors $\hspace{.5cm}n=45-4\times10=5$.
$\hspace{.5cm}$ Gaby a alors rayé les nombres $1$, $2$, $3$ et $4$ et Pénélope les nombres $6$, $7$, $8$ et $9$.
$\ast$ Si $g=11\hspace{.5cm}$ alors $\hspace{.5cm}n=45-4\times11=1$. Mais si Gaby n’a pas rayé pas le nombre $1$, la somme des nombres qu’il a rayé $g$ vaut, au minimum, $2+3+4+5=14\hspace{.5cm} $ contradiction.
$\ast$ Si $g \geq 12\hspace{.5cm}$ alors $\hspace{.5cm}4g \geq 48\hspace{.5cm}$ impossible.

Seul le nombre $5$ peut ne pas avoir été rayé.
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