Un défi par semaine

Janvier 2023, 3e défi

Le 20 janvier 2023  - Ecrit par  Romain Joly Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier mathématique 2023 s’intitule « Structurer le Monde ».

L’être humain a toujours cherché les symétries, les ressemblances et les structures dans la nature, la géométrie et les nombres. Vous découvrirez à travers 12 textes superbement illustrés la vision mathématique moderne de ces structures et de leurs applications, des pavages du palais de l’Alhambra aux collisions des accélérateurs de particules.

La calendrier est en vente ici ou chez votre libraire favori.

Semaine 3

Dans la grille ci-dessous, Gaby a barré quatre cases et Pénélope en a barré quatre autres. Si l’on sait que la somme des nombres barrés par Pénélope est le triple de la somme de ceux barrés par Gaby, quel nombre n’a pas été barré ?

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Solution du 2e défi de janvier 2023 :

Enoncé

Réponse : 1473.

On a l’addition suivante :

\[ \begin{array}{ccccl} & a & b & c & d\\ + & & b & c & d\\ + & & & c & d\\ + & & & & 4\\ \hline & 2 & 0 & 2 & 3 \end{array} \]

On observe tout d’abord que $3d+4$ se termine par $3$, donc $3d$ se termine par $9$, ce qui signifie que $d=3$.

Puisque $3d+4=13$, on en déduit que $3c+1$ se termine par $2$.

Il suit que $3c$ se termine par $1$, donc $c=7$ et $3c+1=22$.

Ensuite, on note que $2b+2$ se termine par $0$, ce qui donne que $b=4$ ou $b=9$.
Mais si $b=9$, alors $2b+2=20$ et donc $a=0$, ce qui n’est pas possible car $abcd$ doit être un nombre à quatre chiffres.

Ainsi, $b=4$, ce qui implique que $a+1=2$ et donc $a=1$. En conclusion, le nombre à quatre chiffres recherché est
$abcd=1473$.

Post-scriptum :

Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.

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Pour citer cet article :

Romain Joly — «Janvier 2023, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2023

Crédits image :

Image à la une - ©JROBALLO / Adobestock

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2023, 3e défi

    le 20 janvier à 08:42, par ROUX

    A la Gauss, $1+2+...+9=45$.
    Or, $45=10+3.10+5$.
    Le nombre qui n’a pas été barré est $5$.

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  • Janvier 2023, 3e défi

    le 20 janvier à 09:29, par Kamakor

    Notons $g$ la somme des nombres rayés par Gaby et $n$ le nombre qui n’a pas été rayé.
    Alors on a $\hspace{.5cm} g+3g+n=1+2+3+4+5+6+7+8+9\hspace{.5cm}$ soit $\hspace{.5cm}4g+n=45\hspace{.5cm}$
    De plus, $1 \leq n \leq 9\hspace{.5cm}$ et $\hspace{.5cm}10 \leq g \leq 30$.
    $\ast$ Si $g=10\hspace{.5cm}$ alors $\hspace{.5cm}n=45-4\times10=5$.
    $\hspace{.5cm}$ Gaby a alors rayé les nombres $1$, $2$, $3$ et $4$ et Pénélope les nombres $6$, $7$, $8$ et $9$.
    $\ast$ Si $g=11\hspace{.5cm}$ alors $\hspace{.5cm}n=45-4\times11=1$. Mais si Gaby n’a pas rayé pas le nombre $1$, la somme des nombres qu’il a rayé $g$ vaut, au minimum, $2+3+4+5=14\hspace{.5cm} $ contradiction.
    $\ast$ Si $g \geq 12\hspace{.5cm}$ alors $\hspace{.5cm}4g \geq 48\hspace{.5cm}$ impossible.

    Seul le nombre $5$ peut ne pas avoir été rayé.

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  • Janvier 2023, 3e défi

    le 20 janvier à 11:44, par Celem Mene

    La somme minimum est 10 (1 + 2 + 3 + 4), et la somme maximum est 30 (6 + 7 + 8 + 9). Toute augmentation de la somme minimum s’accompagnerait de la même augmentation au triple, ce qui n’est pas possible, puisque le maximum est déjà atteint avec 30.

    Comme 30 est le triple de 10, il reste donc le 5 qui n’a pas été barré.

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    • Janvier 2023, 3e défi

      le 20 janvier à 12:46, par ROUX

      Et surtout on a $1+2+3+4=10$ et $6+7+8+9=30=3.10$ ce que j’avais oublié de préciser.

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      • Janvier 2023, 3e défi

        le 23 janvier à 11:35, par Celem Mene

        Vous êtes-vous trompé de fil ?

        Répondre à ce message
  • Janvier 2023, 3e défi - Résolution par élimination

    le 20 janvier à 14:15, par ArnoMat

    On nomme :
    S = 45 la somme des 9 chiffres du carré
    G = somme des 4 chiffres barrés par Gaby
    P = somme des chiffres barrées par Pénélope
    x le chiffre restant

    Puisque P est le triple de G, on peut écrire que :
    S = G + 3G + x donc 4G + x = 45 ou 4G = 45 - x
    Pour obtenir un multiple de 4, les valeurs possibles de x sont 1,3, 5 et 9.

    Pour x=1, G=10 est impossible car le minimum est 2+3+4+5 = 14.
    Pour x=3, G=13 donne P=39 ce qui est impossible car le maximum est 6+7+8+9=30.
    Pour x=9, G=10 est impossible car supérieur à 1+2+3+4 = 10.

    Donc x=5 est le chiffre restant après que Gaby a coché 1, 2, 3 et 4 et Pénélope a coché 6,7,8 et 9.

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