Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Janvier 2023, 4e défi

Le 27 janvier 2023 - Ecrit par Romain Joly Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Tous les premiers vendredis du mois, retrouvez « Le défi du mois » : un défi sans mathématique très complexe mais parfois éloigné du cadre scolaire. Il pourrait vous donner du fil à retordre...

Le calendrier mathématique 2023 s’intitule « Structurer le Monde ».

L’être humain a toujours cherché les symétries, les ressemblances et les structures dans la nature, la géométrie et les nombres. Vous découvrirez à travers 12 textes superbement illustrés la vision mathématique moderne de ces structures et de leurs applications, des pavages du palais de l’Alhambra aux collisions des accélérateurs de particules.

La calendrier est en vente ici ou chez votre libraire favori.

Semaine 4

Trouver tous les nombres premiers qui peuvent s’écrire sous la forme

avec $n$ exposants $2$, où $n \geq 0$.

Solution du 3e défi de janvier 2023 :

Enoncé

Réponse : 5.

On note $v$ la somme des nombres barrés par Gaby, et $x$ le nombre restant.

Puisque l’on sait que la somme des nombres barrés par Pénélope est le triple de la somme des nombres barrés par Gaby,
on a \[v+3v+x=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45\] ce qui donne que $45-x=4v$ est un multiple de $4$.

Cela laisse trois possibilités : $x=1$, $x=5$ ou $x=9$.

Si $x=9$, alors $v=9$, ce qui est impossible. En effet, la plus petite somme possible pour $v$ est $1+2+3+4=10$.

Si $x=1$, alors $v=11$, et la somme des nombres barrés par Pénélope est $33$.
Mais cela est également impossible, puisque la plus grande somme possible est $6+7+8+9=30$.

Ainsi, $x=5$ : Gaby a barré les nombres de $1$ à $4$ et Pénélope a barré les nombres de $6$ à $9$.

Post-scriptum :

Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.

Commentaire sur l'article

Janvier 2023, 4e défi

le 27 janvier à 09:54, par Christophe Boilley

Toutes les puissances itérées de 2 sont des puissances de 16 (à partir de la troisième), donc sont congrues à 1 modulo 5.
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Janvier 2023, 4e défi

le 27 janvier à 11:33, par Al_louarn

Posons $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2^{u_n}$ pour tout $n \geq 0$.
Alors les seuls nombres premiers qu’on peut trouver sont $u_0 + 9 = 2 + 9 = 11$ et $u_0 + 9 = 2^2 + 9 = 13$, car à partir de $n=2$, on montre par récurrence que $u_n$ est une puissance de $16$ donc congru à $1$ modulo $5$ alors que $9$ est congru à $-1$, et ainsi $u_n + 9$ est multiple de $5$.
En effet on a $u_2 = 2^4 = 16^1$, et si $u_n$ est une puissance de $16$ il existe $k>1$ tel que $u_n = 4k$. Alors $u_{n+1} = 2^{4k} = (2^4)^k = 16^k$
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Janvier 2023, 4e défi

le 27 janvier à 11:35, par Al_louarn

Oups $u_1 = 13$
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Janvier 2023, 4e défi

le 28 janvier à 10:44, par claude

Soit ((2²)²)²..=X
A partir de n=2, X se termine toujours par 6, puisque 6² se termine par 6.
Et X+9 se termine toujours par 5 (donc multiple de 5) puisque 6+9 se termine par 5.
X est premier uniquement pour n=0 (11) et n=1 (13)
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L'auteur

Romain Joly

Maître de conférences à l’Institut Fourier de Grenoble.

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Janvier 2023, 4e défi

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