Un défi par semaine

Janvier, 2ème défi

Le 10 janvier 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 2 :

Ecrire les entiers de 1 à 2014 dans une liste. Ensuite, remplacer chacun de ces nombres par la somme de ses chiffres. Effectuer ces substitutions jusqu’à avoir 2014 nombres à un seul chiffre. Entre le nombre 1 et le nombre 2, lequel apparaît le plus de fois dans la liste finale ?

Solution du 1er défi de janvier

Enoncé

La solution est 36.

Il y a 8 nombres qui satisfont la condition et qui commencent par 1 : de 12 à 19. Il y en a 7 qui commencent par 2 : de 23 à 29. Il y en a 6 qui commencent par 3 : de 34 à 39. Il y en a 5 qui commencent par 4 : de 45 à 49. Il y en a 4 qui commencent par 5 : de 56 à 59. Il y en a 3 qui commencent par 6 : de 67 à 69. Il y en a 2 qui commencent par 7 : 78 et 79. Finalement il n’y en a qu’un qui commence par 8 : le 89. Par conséquent, il y a au total $8+7+6+5+4+3+2+1=36$ nombres qui satisfont la condition.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de janvier, Une chambre hyperbolique par Jos Leys.

L’édition française du calendrier est une publication des Presses Universitaires de Strasbourg et de Googol.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous les droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Détail de la page de janvier du calendrier mathématique 2014. Image : « Les pavages de l’espace non euclidien », par Jos Leys. Maquette par Begoña Alberro Viñals.

Commentaire sur l'article

  • Janvier, 2ème défi

    le 10 janvier 2014 à 21:41, par Massy Soedirman

    Les substitutions d’un nombre aboutiront à 1 si le nombre de départ est congru à 1 modulo 9, de même pour 2.
    Or, 2014=223x9+7.

    Ceci prouve que le nombre 1 et le nombre 2 sont obtenus tous les 224 fois.

    Les nombres 8 et 9 eux, ne sont obtenus que 223 fois.

    Répondre à ce message
    • Janvier, 2ème défi

      le 10 janvier 2014 à 21:44, par Massy Soedirman

      le nombre 1 et le nombre 2 sont obtenus tous les deux 224 fois.

      Il en est de même des nombres 3, 4 ,5, 6 ,7.

      Par contre 8 et 9 ne sont obtenus que 223 fois.

      Répondre à ce message
  • Janvier, 2ème défi

    le 13 janvier 2014 à 18:46, par ROUX

    De 1 à 9, chaque chiffre apparait une fois.

    De 11 à 19, c’est pareil, donc, de 10 à 19, 1 apparait une fois de plus. De 20 à 29, ce sera 2 qui apparaitra une fois de plus, et ainsi de suite jusqu’aux nombres de 90 à 99 où c’est 9 qui apparait une fois de plus.

    Chacun des 9 chiffres est apparu une fois de plus dans la suite des nombres dont il était le chiffre des dizaines.

    Cela sera vrai aussi pour les centaines.

    Donc de 1 à 999, ils sont tous apparus le même nombre de fois, soit, 111 fois.

    On attaque les milliers. De 1000 à 1999, c’est 1 qui est apparu une fois de plus (tous les autres sont apparus 111 fois), puis de 2000 à 2009, c’est 2 qui est apparu une fois de plus (tous les autres sont apparus 1 fois) : allons tranquillement jusqu’à 2014 qui vont faire apparaitre une dernière fois 3, 4, 5, 6, et 7 (2+0+1+4).

    Donc les chiffres de 1 à 7 sont apparus 111 + 111 + 1 + 1 fois = 224 fois et les chiffres 8 et 9 une fois de moins, soit 223 fois.

    Donc, 1 et 2 sont apparus le même nombre de fois, soit 224 fois.

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