Un défi par semaine

Janvier, 3ème défi

17 janvier 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 3 :

Soient $a$ et $b$ des nombres réels distincts tels que $a^2=6b+5ab$ et $b^2=6a+5ab$. Quelle est la valeur de $ab$ ?

Solution du 2ème défi de janvier

Enoncé

Les deux nombres apparaissent le même nombre de fois.

On observe que quand on remplace un nombre de la liste par le
nombre qu’on obtient en ajoutant la somme de ses chiffres, le
reste obtenu en divisant le nombre par 9 ne change pas. Par
exemple, le nombre 1567 donne un reste égal à 1 quand on le divise
par 9, et le nombre obtenu en additionnant ses chiffres,
$1+5+6+7=19$ donne aussi un reste égal à 1 quand on le divise par 9. Ce fait est une conséquence du critère de
divisibilité par 9. En général, le nombre de quatre chiffres $abcd$ donne le même reste en le divisant par 9 que $a+b+c+d$.

Après toutes les substitutions, les nombres de la liste
sont entre 0 et 9. Puis, tous les nombres 1 de la liste proviennent de
nombres qui donnent un reste égal à 1 quand on les divise par 9 : 1, 10,
19, 28, $\ldots$, 1999, 2008. De la même façon, tous les nombres
2 proviennent des nombres qui donnent un reste égal à 2 quand on les
divise par 9 : 2, 11, 20, 29, 38, $\ldots$, 2000, 2009. On observe
qu’entre 1 et 2007 il y a $223=\frac{2007}{9}$ nombres qui sont
multiples de 9 et 223 nombres qui donnent un reste
de 1 quand on les divise par 9 ; avec 2008 il y a au total 224
nombres qui donnent un 1 dans la liste finale. De façon analogue, entre 1 et 2014 il y a 224 nombres qui donnent un reste égal à 2 quand on les divise par 9. Par conséquent, les deux nombres 1 et 2 apparaissent le même nombre de fois.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de janvier, Une chambre hyperbolique par Jos Leys.

L’édition française du calendrier est une publication des Presses Universitaires de Strasbourg et de Googol.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous les droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Détail de la page de janvier du calendrier mathématique 2014. Image : « Les pavages de l’espace non euclidien », par Jos Leys. Maquette par Begoña Alberro Viñals.

Commentaire sur l'article

  • Janvier, 3ème défi

    le 17 janvier 2014 à 14:07, par Olivier

    Le produit des deux nombres vaut $ab = 6$.

    On calcule $(a+b)(a-b)=a^2-b^2 = 6(b-a)$. Puisque $a \neq b$ par hypothèse, cela donne $a+b = -6$. De là, on calcule $(a+b)^2 = 2ab + a^2 + b^2 = 6(2ab+a+b)$, soit en remplaçant par la valeur que l’on vient de trouver $36 = 6(2ab-6)$ et on en déduit alors $ab=6$.

    Pour aller plus loin, on peut alors --- connaissant $ab$ et $a+b$ --- résoudre $X^2 + 6X +6=0$ pour trouver $a$ et $b$, et on obtient alors $a, b = -3 \pm \sqrt{3}$.

    Répondre à ce message
    • Janvier, 3ème défi

      le 18 janvier 2014 à 07:53, par ROUX

      Pourquoi avez-vous commencé par calculer (a+b)(a-b) ?

      Est-ce le début de votre réflexion, ou ce (a+b)(a-b) n’est-il mis là, en première place, qu’après une réflexion sur une envie de rédaction ?

      Qu’ elle a été, en vrai , réellement , votre première idée, votre premier « hint », comme écrivent les américains ?

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      • Janvier, 3ème défi

        le 23 janvier 2014 à 14:56, par projetmbc

        On connait a^2 et b^2, il est alors naturel de s’intéresser à a^2 - b^2 et hop on récupère l’info sur a - b. Il faut des fois y aller à tâtons en maths.

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      • Janvier, 3ème défi

        le 23 janvier 2014 à 16:33, par Olivier

        Oui, comme l’a expliqué projetmbc, calculer $a^2-b^2$ a vraiment été mon premier pas. Vu qu’on connaît déjà $a^2$ et $b^2$, c’est intéressant de regarder $(a \pm b)^2$ ou $a^2-b^2$. Le fait que $5ab$ apparaisse identiquement dans les deux équations pousse à calculer cette dernière équation plutôt qu’une autre, et le résultat déroule ensuite automatiquement.

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        • Janvier, 3ème défi

          le 23 janvier 2014 à 21:26, par ROUX

          Je vous remercie pour vos deux réponses.

          Je ne suis pas mathématicien : j’aimerais tant voir fonctionner les « boyaux de la tête » des mathématicien(ne)s comme disait Coluche.

          J’aimerais lire, donc, si j’ai bien compris : « Bon si je soustrait (a^2) et (b^2), je perds les (ab) mais je gagne un (b - a) que je simplifierai avec le (a - b) de l’identité remarquable (a^2 - b^2) ; j’aurai donc la valeur de (a + b), que je mettrai au carré pour récupérer du (ab), deux, d’ailleurs, avec une somme de a^2 et de b^2 qui s’exprimera clairement avec (a + b) dont je connais la valeur et (ab), au nombre de 5, que je cherche... Yes, allez, j’écris, c’est bon, on arrive au bout d’un chemin où se trouve la valeur de (ab) !!! ».

          J’avais retenu qu’on ne devait jamais se lancer dans les calculs sans savoir où on va avec eux, et c’est cela que j’aimerais lire, la description, en français , du chemin qu’on va parcourir avec ces calculs... Le hint , quoi...

          De ce point de vue, la rédaction de la solution du problème n°2 par l’autrice qui exposait clairement la présence de cycles appelant alors l’algèbre modulaire était sympa’ à lire...

          Et on pourrait imaginer que les prochaines solutions soient données ainsi : le chemin clairement et longuement exposé en français puis la réponse, et juste elle, car, entre elle et l’exposé, ce ne sont plus au fond que des calculs inintéressants si on a compris le chemin et inutile si on ne l’a pas vu avant.

          Répondre à ce message

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