Enoncé

Les deux nombres apparaissent le même nombre de fois.

On observe que quand on remplace un nombre de la liste par le
nombre qu’on obtient en ajoutant la somme de ses chiffres, le
reste obtenu en divisant le nombre par 9 ne change pas. Par
exemple, le nombre 1567 donne un reste égal à 1 quand on le divise
par 9, et le nombre obtenu en additionnant ses chiffres,
$1+5+6+7=19$ donne aussi un reste égal à 1 quand on le divise par 9. Ce fait est une conséquence du critère de
divisibilité par 9. En général, le nombre de quatre chiffres $abcd$ donne le même reste en le divisant par 9 que $a+b+c+d$.

Après toutes les substitutions, les nombres de la liste
sont entre 0 et 9. Puis, tous les nombres 1 de la liste proviennent de
nombres qui donnent un reste égal à 1 quand on les divise par 9 : 1, 10,
19, 28, $\ldots$, 1999, 2008. De la même façon, tous les nombres
2 proviennent des nombres qui donnent un reste égal à 2 quand on les
divise par 9 : 2, 11, 20, 29, 38, $\ldots$, 2000, 2009. On observe
qu’entre 1 et 2007 il y a $223=\frac{2007}{9}$ nombres qui sont
multiples de 9 et 223 nombres qui donnent un reste
de 1 quand on les divise par 9 ; avec 2008 il y a au total 224
nombres qui donnent un 1 dans la liste finale. De façon analogue, entre 1 et 2014 il y a 224 nombres qui donnent un reste égal à 2 quand on les divise par 9. Par conséquent, les deux nombres 1 et 2 apparaissent le même nombre de fois.