Un défi par semaine

Janvier, 4ème défi

24 janvier 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 4 :

Dans une grille de 3 lignes et 6 colonnes on place les
nombres de 1 à 6. Sur la première ligne, on les dispose dans
l’ordre croissant, sur la deuxième dans un ordre quelconque, et
sur la troisième on dispose la valeur absolue de la différence des nombres de
chaque colonne. Pouvez-vous remplir la deuxième ligne de façon à obtenir 6 différences distinctes ?

Solution du 3ème défi de janvier

Enoncé

La réponse est $ab=6$.

Comme $a^2=6b+5ab$ et $b^2=6a+5ab$, on a alors

$a^2-b^2 = 6(b-a)$

$(a-b)(a+b) = 6(b-a)$

$(a-b)(a+b+6) = 0.$

Comme $a \neq b$, on a $a+b+6=0$, d’où $a+b=-6$. Ensuite, en élevant au carré on obtient $a^2+b^2+2ab=36$, donc $a^2+b^2=36-2ab$. Toutefois, en additionnant les équations originales on a alors $a^2+b^2=6(a+b)+10ab$,
donc

$36-2ab = -36+10ab$

$72 = 12ab$

$6 = ab.$

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de janvier, Une chambre hyperbolique par Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous les droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - L’édition française du calendrier est une publication des Presses Universitaires de Strasbourg et de Googol.

Commentaire sur l'article

  • Janvier, 4ème défi

    le 25 janvier 2014 à 23:55, par ROUX

    • Janvier, 4ème défi

      le 26 janvier 2014 à 17:10, par Daniate

      En effet c’est impossible. Les valeurs absolues des différences sont forcément 0,1,2,3,4 et 5. Leur somme est impaire (15) . Si dans cette somme on remplace un terme par la vraie différence on enlève 2 fois le terme ou 0 et la somme reste impaire. Or lorsque tous les termes auront étés modifiés de cette façon la somme sera nulle donc paire.

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      • Janvier, 4ème défi

        le 26 janvier 2014 à 19:05, par ROUX

        Avec cet argument, vous est-il possible de déterminer les cas pour lesquels c’est possible ?

        En fait, il faut que votre argument le permette et que vous m’expliquiez un tout petit peu plus comment l’utiliser.

        Avec mon outil, j’ai trouvé que c’est possible pour 4,5 et 8 mais pas pour 2 et 3, cas triviaux, puis 6 et 7.

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        • Janvier, 4ème défi

          le 26 janvier 2014 à 21:01, par Daniate

          Supposons que le problème va de 1 à n. Les différences possibles vont de 0 à n-1 (en valeurs absolues). Si l’on oublie les va la somme des différences est 0 puisque cela revient à soustraire le total de la deuxième ligne du total de la première. Pour retrouver la somme avec valeurs absolues on ne touche pas aux différences positives par contre en changeant un terme négatif en son opposé la somme augmente de deux fois la va, c’est à dire qu’on ajoute un nombre pair. On obtient donc une condition nécessaire (mais j’ignore si elle est suffisante) : 0+1+2+...+(n-1) doit être pair. Or cette somme vaut (n-1)x n/2. Pour qu’elle soit paire il faut que n soit de la forme 4p ou de la forme 4p+1. C’est bien le cas de 4,5,8 mais pas de 6 ou 7

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          • Janvier, 4ème défi

            le 27 janvier 2014 à 18:19, par ROUX

            Merci !

            Compris ! Et comprise, la notion de nécessaire.

            Ah tiens, je prends mon outil pour 9 car 9 = 4*2 + 1.

            En dessous de 1 2 3 4 5 6 7 8 9, on met 9 8 4 7 3 6 2 1 4 pour obtenir les distances 8 6 1 3 2 0 5 7 4.

            Trop rigolo : encore merci !!!

            Je ne sais absolument pas démontrée la suffisance...

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            • Janvier, 4ème défi

              le 27 janvier 2014 à 18:22, par ROUX

              Erreur de copie : on met 9 8 4 7 3 6 2 1 5 pour obtenir les distances 8 6 1 3 2 0 5 7 4

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  • Janvier, 4ème défi

    le 26 janvier 2014 à 12:02, par ROUX

    J’ai voulu faire un graphe où à chaque étape, j’avais toutes les possibilités.

    Mais il m’est apparu, avant même que je commence à le dessiner, que je ne pouvais pas le dessiner en un temps raisonnable et sur une surface raisonnée...

    Je me suis alors donné pour outil un tableau avec 6 lignes et 6 colonnes. Dans chaque intersection, je mets la valeur absolue de la différence entre les chiffres de 1 à 6.

    Dés que je choisis une valeur de la différence, je supprime toutes les autres valeurs dans la colonne et la ligne.

    J’ai alors joué avec plusieurs suites de nombres.

    Je n’ai pas encore repéré le théorème mais je sais qu’on ne peut pas trouver pour (1,2), pour (1,2,3).

    En revanche, je trouve pour (1,2,3,4) : il suffit de placer dessous respectivement (4,2,1,3) ce qui donne pour valeur absolue de la différence, respectivement (3,0,2,1).

    J’ai identifié le problème qui est que le nombre de valeurs nulles des différences est exactement égal au nombre de chiffres et que le choix de la première valeur de différence consomme deux « 0 » : il faudra donc espérer que le choix de l’une des autres valeurs de différences ne consomme, elle, aucun « 0 ».

    C’est ce qui se passe dans le tableau pour (1,2,3,4) et dans le tableau pour (1,2,3,4,5).

    Mais je bute sur : comment reconnaitre au premier coup d’œil que le tableau ne permettra pas cela ?

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