Jean-Robert Argand (1768-1822) et la quantité imaginaire ; une ouverture par-delà la réalisation géométrique et l’imitation du réel

Hors-piste 20 juin 2014  - Ecrit par  Dominique Flament Voir les commentaires

À la fin du 18e siècle les quantités imaginaires font toujours problème : après avoir été qualifiées de sophistiques, absurdes, irréductibles, indicibles, inexplicables, impossibles,… leur exception mathématique demeure, elles ne sont toujours pas reconnues comme des entités mathématiques à part entière.

La défiance à leur égard est plus forte que jamais, au point que, de la part de ceux qui veulent en finir avec cette incertitude, et non sans volontaires provocations et outrances, on en vient à parler d’elles comme de « fictions de l’esprit », telles les quantités évanouissantes, dont il serait bon de se débarrasser parce que malvenues en une science de rigueur que d’autres sciences, ou en passe de le devenir, cherchent à « imiter ».

À l’heure donc où paraissent les premières représentations géométriques force est de constater qu’elles ne sauraient plus être entendues telles les réalisations longtemps désirées : les interrogations portées sur le cinquième postulat d’Euclide font douter de la « perfection » de la Géométrie et les passages du réel à l’imaginaire, bien que souvent salutaires, suscitent plus que jamais le doute et le malaise ; s’imposera, avec une nouvelle « rigueur », la nécessité d’une existence plus strictement arithmético-algébrique, à la place de ce « critère de vérité » accordé à la Géométrie qui ne pouvait plus être de mise.

C’est aussi à ce dernier effort qu’allait contribuer Jean-Robert Argand, à sa manière.

[L]’idée de la représentation géométrique des imaginaires avait été retrouvée indépendamment par deux modestes chercheurs, tous deux mathématiciens amateurs, plus ou moins autodidactes, et dont ce fut la seule contribution à la science, tous deux aussi sans grand contact avec les milieux scientifiques de leur temps. [Bourbaki 1974, 202]

On convient volontiers que l’idée d’une telle représentation géométrique remonterait à 1799 chez Carl Friedrich Gauss (1777-1855) [1]. On sait aussi qu’elle est clairement décrite dans sa lettre du 18 décembre 1811 [Gauss 1880, 155-160] adressée à Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) ; mais, elle ne sera rendue publique que vers 1831 [2].

Ces « deux modestes chercheurs » sont le Danois Caspar Wessel (1745-1818), dont la contribution mathématique remonte à 1797 mais elle ne sera comprise qu’à la fin du 19e siècle (voir notamment [Wessel 1897]), et le Suisse Jean-Robert Argand (1768-1822), qui propose en 1806 un Essai sans nom d’auteur [Argand 1806].
L’œuvre mathématique du Suisse Argand (1768-1822) est certes modeste : en volume, elle couvre à peine 120 pages qui constituent un opuscule, ainsi que sept articles et quelques extraits de lettres publiés dans les Annales de mathématiques pures et appliquées [3] de Gergonne ; mais elles ne méritaient certainement pas dans le dernier tiers du 20e siècle cette déclaration de Bourbaki.

L’œuvre mathématique de Wessel est plus modeste encore ; mais aujourd’hui elle est très largement reconnue ! Nous lui avons donc préféré ici celle de Argand.

Par delà les commentaires élogieux des nombreux érudits qui étudièrent son Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques et sa démonstration « presque juste » du théorème fondamental de l’algèbre [Argand 1814, 201-209], ses « Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires » [Argand 1814, 197–201], moins bien connues, retiendront notre attention ici.

Bien que « teneur de livres », Argand n’en est pas pour autant aussi éloigné du milieu des mathématiques que nous invite à le croire Bourbaki. Il fera parvenir un exemplaire de son opuscule à Legendre, qui en fera à son tour état dans une lettre adressée au mathématicien Joseph François Français (1768-1810) ; incidemment, à la mort de son frère, Jacques Frédéric Français (1775-1833), lui aussi mathématicien, retrouvera cette correspondance et aussi matière à réflexion suffisante pour en faire l’objet d’une publication en septembre 1813 dans les Annales de mathématiques pures et appliquées de Gergonne [Français 1813a] ; à la fin de celle-ci il reconnait que la paternité de ce travail remanié et amélioré par ses soins, ne lui revient pas et il invite son auteur à se manifester ([Français 1813a, 70-71]).
Argand, quelques mois plus tard, publiera dans le même numéro de la revue un résumé de son Essai [4] : il avait été adressé le 1er novembre 1813, accompagné de l’ouvrage lui-même, à Gergonne.

Ces Annales de Gergonne, sont loin d’être négligeables. Elles constituent alors une des revues les plus importantes consacrées aux mathématiques du premier 19e siècle ; fondées en 1810, elles sont « le premier journal de mathématiques » (français) « exclusivement dédié aux mathématiques » [Verdier 2009].

Extraits de l’Essai de 1806

Les quantités négatives sont d’abord concernées ; elles font l’objet de deux remarques :

La première est que, selon l’espèce de grandeurs à laquelle on applique la numération, la quantité négative est réelle ou imaginaire ; la seconde est que, deux quantités d’une espèce susceptible de fournir des valeurs négatives étant comparées entre elles, l’idée de leur rapport est complexe. Elle comprend : 1° l’idée du rapport numérique dépendant de leurs grandeurs respectives considérées absolument ; 2° l’idée du rapport des directions ou sens auxquels elles appartiennent, rapport qui est l’identité ou l’opposition. (p. 4-5)

Argand parvient par la combinaison « grandeur absolue – direction » à chasser l’imaginaire de la dite quantité « négative » ; relevons aussi, ce qui constituait encore alors et depuis longtemps un problème, qu’une proportion entre grandeurs signifiées différemment devenait légitime : il n’est plus question de rapport entre espèces différentes, mais entre grandeurs de même espèce. Dès lors, fort de cette première « réussite », Argand propose de déterminer la « moyenne proportionnelle géométrique » entre deux quantités de signes différents, c’est-à-dire de déterminer la quantité $x$ qui satisfait la proportion, représentée sous une forme classique,

\[+1:+x∷+x:-1. \qquad {\rm (I)}\]

[N]e serait-il pas possible d’obtenir le même succès relativement à la quantité dont il s’agit, quantité réputée imaginaire par l’impossibilité où l’on est de lui assigner une place dans l’échelle des quantités positives ou négatives ? (p. 6)

Mais une difficulté subsiste, du même ordre que les précédentes : la quantité $x$ ne peut être positive, ni négative ; la proportion (I) impose à la quantité « $+ 1$ » d’être à « $+ x$ » ce que cette dernière est à « $- 1$ ».

En y réfléchissant, il a paru qu’on parviendrait à ce but, si l’on pouvait trouver un genre de grandeurs auquel pût s’allier l’idée de direction, de manière que, étant adoptées deux directions opposées, l’une pour les valeurs positives, l’autre pour les valeurs négatives, il en existât une troisième telle, que la direction positive fût à celle dont il s’agit comme celle-ci est à la direction négative. (p. 6)

Au moyen d’une notation symbolique (où, par exemple, une expression telle que « $\overline{AB}$ » représente une « ligne dirigée » de $A$ vers $B$ de grandeur « absolue $AB$ »), Argand n’a plus qu’à commenter la figure suivante :

[L]a condition à laquelle il s’agit de satisfaire sera remplie par la ligne $KE$, perpendiculaire aux précédentes et considérée comme ayant sa direction de $K$ en $E$, et qu’on exprimera également par $\overline{KE}$. En effet, la direction de $\overline{KA}$ est, à l’égard de celle de $\overline{KE}$, ce que cette dernière est à l’égard de la direction de $\overline{KI}$. De plus, on voit que cette même condition est aussi bien remplie par $\overline{KN}$ que par $\overline{KE}$, ces deux dernières quantités étant entre elles comme $+ 1$ et $- 1$, ainsi que cela doit être. Elles sont donc ce qu’on exprime ordinairement par $+\sqrt{-1}$, $-\sqrt{-1}$. (p. 6-7)

Argand ne nous explique pas comment il a élaboré la construction géométrique qui lui permet de représenter « $+\sqrt{-1}$ » et « $-\sqrt{-1}$ », mais cela ne l’empêche pas, en poursuivant son raisonnement, d’insérer d’autres moyennes proportionnelles entre les « quantités, $\overline{KA}$, $\overline{KE}$, $\overline{KI}$ et $\overline{KN}$ » ; ainsi, pour construire la moyenne entre $\overline{KA}$ et $\overline{KE}$, il se contente de dire : « Il faudra tirer la ligne $CKL$ qui divise l’angle $AKE$ en deux parties égales et la moyenne recherchée sera $\overline{KC}$ ou $\overline{KL}$ ».

On fera de même pour deux quantités quelconques. Là encore, Argand ne nous dit pas comment il a pu obtenir cette généralisation. Les opérations successives mentionnées précédemment aboutissent à la figure suivante :

qui représente les « quantités $\overline{KB}$, $\overline{KD}$, $\overline{KF}$, $\overline{KH}$, $\overline{KJ}$, $\overline{KM}$, $\overline{KO}$, $\overline{KQ}$ » (p. 8-9), moyennes entre $\overline{KA}$, et $\overline{KC}$, $\overline{KC}$ et $\overline{KE}$, ... et ainsi de suite.

Le principe sur lequel se fondent ces constructions, énoncé d’une manière générale, consiste en ce que le rapport de deux rayons $\overline{KP}$ et $\overline{KQ}$, faisant entre eux un angle $QKP$, dépend de cet angle, lorsque l’on considère ces rayons tirés dans une certaine direction, et que ce rapport est le même que celui de deux autres rayons $\overline{KR}$, $\overline{KS}$ faisant entre eux le même angle ; mais, quoique ce principe soit, en quelque manière, une extension de celui sur lequel on établit le rapport géométrique entre une ligne positive et une ligne négative, on ne le présente ici que comme une hypothèse, dont il restera à établir la légitimité, et dont, jusque-là, les conséquences devront être confirmées par une autre voie. (p. 8-9)

Les « lignes dirigées » gagneront leur liberté, et prendra naissance une nouvelle théorie. Argand introduit aussi une nouvelle conception, qui anticipe en quelque sorte ce que nous devrons à Giusto Bellavitis (1803-1880) ; il remarque en effet que toutes les relations précédentes entre les proportions avaient été construites en prenant comme donnée de départ un point fixe $K$. Or, dit-il, « il n’est pas nécessaire que le départ de la direction, qui constitue une partie de l’essence de ces quantités, soit fixé à un point unique $K$. » (p. 9)

Ce n’est plus un objet inhérent à un lieu précis du plan cartésien qui est pris en considération, car on peut choisir, par exemple, à la place de $\overline{KA}$, indifféremment $\overline{K'A'}$, $\overline{K''A''}$, ..., à condition que $KA = K' A'$ ; $KA=K'' A''$, ..., et que la direction reste la même. Cette notion d’équipollence, encore larvaire, permet de libérer l’objet considéré en lui octroyant une multitude de représentants et légitime avec un nouveau degré de rigueur le « geste » qui consistait à abouter des « segments » sans autre justification.

Si l’on choisit une « unité primitive » $\overline{KA}$, toute « ligne dirigée » qui lui est parallèle sera alors identifiée à un « nombre réel » ; celles qui lui seront perpendiculaires s’exprimeront comme des « nombres imaginaires » de la forme « $\pm a \sqrt{-1}$ ». Toutes les autres « lignes dirigées » restantes représenteront des nombres de la forme « $\pm a \pm b \sqrt{-1}$, qui se compose d’une partie réelle et d’une partie imaginaire » (p. 12).
L’introduction de ce nouveau concept, dont nous connaissons l’importance, poussera l’auteur à dénoncer un vocabulaire qu’il jugera peu orthodoxe en mathématique ; il suggèrera, parce qu’ils ne s’accordent pas avec ce qu’il vient d’exposer, d’abandonner les noms de réel et d’imaginaire, et plus encore ceux d’impossible et d’absurde.

Il convient d’embrasser sous un même nom les espèces opposées, positives et négatives réciproques. La réunion de deux espèces ainsi relatives formera un ordre. Nous appellerons ordre prime celui qui composent l’espèce primitive $\overline{KA}$ et sa négative $\overline{KC}$, et ordre médiane celui qui contient les espèces moyennes $\overline{KB}$ et $\overline{KD}$. Nous dirons aussi quantité prime, quantité médiane pour quantité de l’ordre prime, de l’ordre médiane. […] On pourra donner le nom général d’intermédianes à toutes les autres […] (p. 13-14)

Proposer le concept de « ligne dirigée » ne suffit pas, Argand doit montrer comment l’utiliser en définissant les opérations que l’on appellera par extension « addition » et « multiplication » ; il faudra « examiner les différentes manières dont les lignes dirigées se combinent entre elles par addition et multiplication » et « déterminer les constructions qui en résultent. » (p. 17)

Nous n’insisterons pas sur cette théorie dont on comprend bien aujourd’hui toutes les intentions ; nous nous arrêterons simplement à la « multiplication » des lignes dirigées. Argand commence par construire le produit $\overline{KB} \times \overline{KC}$, où $\overline{KB}$ et $\overline{KC}$ sont des « unités non primes » (fig. 7) :

Soit pris « $\mbox{angle } \overline{CKD} =  \mbox{angle } \overline{AKB}$ » ; toujours en insistant sur le côté hypothétique qui le conduit au principe sur lequel repose son rapport géométrique, Argand écrit la proportion géométrique suivante (fig. 7) : $\overline{KA} : \overline{KB} = \overline{KC} : \overline{KD}$. D’où est extrait :

\[ \overline{KA} \times \overline{KD} = \overline{KB} \times \overline{KC}\]

Si on remarque que l’on l’égalité $\overline{KA} = +1$, on obtient alors :

\[\overline{KB} \times \overline{KC} = \overline{KD} \qquad {\rm (III)}\]

Il ne reste plus qu’à interpréter la figure 7, compte tenu de d’égalité (III), pour énoncer la règle cherchée :

Pour construire le produit de deux rayons dirigés, il faut prendre, à partir de l’origine des arcs, la somme des deux arcs qui appartiennent à ces rayons, et l’extrémité de l’arc somme déterminera la position du rayon-produit. (p. 21)

Une telle multiplication doit s’étendre, pour être générale, à des « lignes dirigées » quelconques. On sait comment un tel produit s’effectue avec des « unités » ; il faut donc mettre en évidence deux propriétés fondamentales non encore exprimées pour aller plus loin : la première est de poser par définition qu’une « ligne dirigée » correspond à un certain nombre de fois une « unité », « prime », « médiane » ou « intermédiane ». La seconde est d’énoncer que la longueur « absolue » du produit de deux « lignes dirigées » est égale au produit des longueurs « absolues » de ces deux lignes. Argand résume ces deux propriétés en disant simplement :

Si les facteurs ne sont pas des unités, on pourra les mettre sous la forme $m.\overline{KB}$, $n.\overline{KC}$, ..., $m$, $n$ … étant des coefficients ou des lignes primes positives ; et le produit sera $(mn…)(\overline{KB}.\overline{KC}…) = (mn…).\overline{KP}$. Or le produit de la ligne prime positive $(mn...)$ par le rayon $\overline{KP}$ n’est autre chose que cette même ligne tirée dans la direction de ce rayon. (p. 21)

Grâce à sa définition de « ligne dirigée », il évite d’introduire une nouvelle définition, celle qu’exigerait le produit d’un nombre par une ligne dirigée. On voit également qu’Argand a déjà généralisé son produit à plus de deux facteurs. Plus tôt, il avait accordé une grande importance à l’établissement d’une extension légitime de l’addition mais, ici, il considère « qu’il n’est pas[/plus] nécessaire de montrer que cette règle a lieu pour un nombre quelconque de facteurs ».

On sait ajouter, retrancher et multiplier les « lignes dirigées » entre elles ; « la division s’opérera par une marche inverse [de celle du produit], qu’il serait superflu de détailler » (p. 21) : « Avec ces règles, on opérera une construction quelconque des lignes dirigées, comme on pratique celles des lignes absolues. » (p. 21-22)
La partie théorique de son « Essai » se termine ainsi ; le reste de l’opuscule est consacré à l’exposition d’exemples qui parfois viendront suppléer certaines des carences de la première partie.

Les éléments à suivre laissent plus encore soupçonner la profondeur et la justesse des réflexions de Argand, tout en nous faisant regretter qu’il n’ait pas prolongé plus avant ses recherches.

C’est d’abord l’originalité d’une première citation extraite de son résumé de 1813 de l’Essai, qui nous invite à le penser ; elle est prudente, mais non sans ambiguïté. Elle est à la fois dans la tradition du second 18e siècle, proche des réticences d’un Pierre-Simon Laplace (1749-1827), mais alors largement partagées et qui le resteront plusieurs décennies encore, à l’encontre du « passage du réel à l’imaginaire » ; elle s’inscrit cependant dans l’esprit du premier 19e siècle et de ses bouleversements, en suivant une approche qui n’est pas sans rappeler celle de Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), même si les objectifs de l’un et de l’autre paraissent ne se retrouver que vers la fin des années 1840 autour des quantités géométriques [Cauchy 1847, 176] :

La théorie dont nous venons de donner un aperçu, peut être considérée sous un point de vue propre à écarter ce qu’elle peut présenter d’obscur, et qui semble en être le but principal, savoir : d’établir des notions nouvelles sur les quantités imaginaires. En effet, mettant de côté la question si ces notions sont vraies ou fausses, on peut se borner à regarder cette théorie comme un moyen de recherches, n’adopter les lignes en direction que comme signes des quantités réelles ou imaginaires, et ne voir, dans l’usage que nous en avons fait, que le simple emploi d’une notation particulière. […] il ne restera plus à examiner que la question de didactique ‘si l’emploi de cette notation peut être avantageux ? s’il peut ouvrir des chemins plus courts et plus faciles, pour démontrer certaines vérités ?’ c’est ce que le fait seul peut décider. ” [Argand 1813, 143-144]

Sortir du plan ; ligne dirigée dans l’espace

Plus instructive et plus riche d’enseignements est sa recherche non aboutie de la forme générale d’une ligne dirigée dans l’espace qu’il tente dans son résumé, et qui devait étendre celle trouvée dans le plan ; elle sera la raison au cours des années 1813 et 1814 de débats au sein des Annales, notamment entre Argand, Français, Gergonne et François-Joseph Servois (1767-1847), et l’occasion de clarifications et de remises en question de la théorie des quantités imaginaires qui ne resteront pas sans effets chez d’autres, contemporains ou non.

Soit la figure suivante :

On a : $\overline{KA}=+1$, $\overline{KC}=-1$, $\overline{KB}=+\sqrt{-1}$, $\overline{KD}=-\sqrt{-1}$, « tout autre rayon $\overline{KN}$, mené dans le plan de ceux-là, sera de la forme $p+q\sqrt{-1}$ ; et réciproquement, toute expression de cette forme sera celle d’une ligne dirigée dans ce plan. » [Argand 1813, 144]

À la suite, Argand dresse une perpendiculaire $KP = KA$ à ce plan, et pose les questions suivantes :

Que sera la ligne dirigée $\overline{KP}$, relativement aux précédentes ? Leur est-elle tout à fait hétérogène, ou bien peut-on la rapporter analytiquement à l’unité primitive $\overline{KA}$, et assigner son expression algébrique, comme celle de $\overline{KB}$, $\overline{KC}$, … ?

« Guider par l’analogie », et reprenant une écriture symbolique due à Français, il pose :

\[\overline{KA}=1_0 , \; \overline{KB} = 1_{\frac{1}{4}} , \; \overline{KC} = 1_{\frac{1}{2}} , \; \overline{KD} = 1_{\frac{3}{4}} , \]

$A$ est donc ici pris comme origine sur la circonférence $ABCD$ et met en jeu des angles positifs ou négatifs, suivant le sens de déplacement :

[S]i nous appliquons aux mêmes angles les mêmes considérations qu’aux lignes, nous serons conduits à prendre les angles imaginaires dans une direction perpendiculaire à celle qui appartient aux angles réels.

Supposons que le demi-cercle $ABC$ tourne autour de $AC$, le point $B$ décrivant le cercle $BPDQ$ ; puisqu’on a déjà

\[ {\rm Ang.} \overline{AKB} = +\frac{1}{4} = \frac{1}{4} . (+1) \; \mbox{ et } \; {\rm Ang.} \overline{AKD} = -\frac{1}{4} = \frac{1}{4} . (-1) \; ; \]

on pourra donc dire que
\[ {\rm Ang.} \overline{AKP} = \frac{1}{4} \sqrt{-1} = \frac{1}{4} . 1_{\frac{1}{4}} \; ; \]

D’où on conclura
\[ \overline{KP} = 1_{\frac{1}{4} . 1_{\frac{1}{4}}} = 1_{\frac{1}{4} \sqrt{-1}} = 1^{\frac{1}{4} \sqrt{-1}} = \left( 1^{\frac{1}{4}} \right)^{\sqrt{-1}} = (\sqrt{-1})^{\sqrt{-1}} . \]

Telle paraît devoir être l’expression analytique demandée. (p. 145)

Si l’on prend un point quelconque $M$ sur le cercle $BPDQ$, tel que l’angle $BKM$ soit égal à $\mu$, on trouve « $\overline{KM} = \sqrt{-1}^{\cos. \mu + \sqrt{-1} \sin. \mu}$ ». Les angles s’expriment tout aussi simplement ; à titre d’exemples on a les suivants :

\[ \mbox{Angle } \overline{AKP} = \frac{1}{4} \sqrt{-1} \]
\[ \mbox{Angle } \overline{BKP} = \frac{1}{4} \sqrt{-1}^{\sqrt{-1}} . \]

Argand ne tient pas à aller plus avant dans de tels « aperçus », mais souhaite cependant remarquer que les expressions $a$, $a_b$, $a_{b_c}$, « qui désignent des lignes considérées par rapport à une, à deux, à trois dimensions, ne sont que les premiers termes d’une suite qui peut être prolongée indéfiniment. » (p. 146)

Un nouveau problème viendra encore se rajouter lorsque Argand précisera, à la suite des précédentes propositions, que $\overline{KP} = (\sqrt{-1})^{\sqrt{-1}}$ offre l’exemple le plus simple d’une quantité non réductible à la forme $p+q\sqrt{-1}$. Il n’ignore pas que de nombreux mathématiciens ont montré le contraire, mais il considère que leurs démonstrations ne sont pas concluantes dans la mesure où elles font usage de développements en séries ou des logarithmes : les premières sont rejetées, car il faut prouver que $p$ et $q$ ont des valeurs finies ; les secondes démonstrations subissent le même sort, car « elles laissent aussi, ce me semble, quelques nuages dans l’esprit, en ce qu’on n’a pas encore des notions bien précises sur les logarithmes imaginaires. » (p. 147)

C’est reconnaître là que, plus de 60 ans après, les résultats de Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) et de Leonhard Euler (1707-1783) ne sont toujours pas unanimement admis tels des acquis incontestés !

Argand s’exposera ainsi à des critiques ; telles, par exemple, celle de Jacques-Frédéric Français (lettre datée du 8 novembre 1813, [Français 1813b]) :

[ (…) j’aurais peine à passer à cet estimable géomètre son assertion sur la non réductibilité de $(c\sqrt{-1})^{d\sqrt{-1}}$ à la forme $A+B\sqrt{-1}$. On a, en effet,

\[ c\sqrt{-1} = e^{{\rm Log.} \, (c\sqrt{-1})} = e^{{\rm Log.} \, c + {\rm Log.} \, \sqrt{-1}} = e^{{\rm Log} \, c + \frac{1}{2} \pi \sqrt{-1}} = e^{{\rm Log} \, c} . e^{\frac{1}{2} \pi \sqrt{-1}} ; \]
\[ {\rm donc} \quad (c\sqrt{-1})^{d\sqrt{-1}} = e^{d \, {\rm Log.} \, c\sqrt{-1}} . e^{-\frac{1}{2} d \pi} = e^{-\frac{1}{2} d\pi} \{ {\rm Cos.} \ (d \, {\rm Log.} \, c) + \sqrt{-1} . {\rm Sin.} \ (d \, {\rm Log.} \,c) \} \]
qui est bien de la forme $A+B\sqrt{-1}$. Je crois donc être fondé à ne regarder la forme $(c\sqrt{-1})^{d\sqrt{-1}}$ qu’il assigne à la troisième coordonnée que comme une simple conjecture sujette à une sérieuse contestation. (p. 227)

La lettre de Servois (datée du 23 novembre 1813, publiée aussi dans les Annales de Gergonne, [Servois 1813]), n’a pas la modération de celle de Français. La critique est sévère et prend à partie indifféremment nos deux auteurs, mais elle ne s’oppose pas à la marche de cette nouvelle théorie ; Servois s’attache à en souligner les défauts et à dénoncer l’emploi d’analogies. Mais, il ne manquera surtout pas de reprocher à Argand (p. 231) sa méconnaissance de la formule $(\sqrt{-1})^{\sqrt{-1}} = e^{\frac{1}{2} \pi}$ « démontrée » par Euler.

Gergonne rappellera à l’occasion comment cette démonstration est facilement obtenue ; mais, en dépit de cette simplicité, il se ralliera au « doute » de Argand quant à la réduction de $(c\sqrt{-1})^{d\sqrt{-1}}$ à la forme $p+q\sqrt{-1}$. La position de Gergonne pouvait encore se concevoir : tant que la théorie sur les formes algébriques ne serait pas claire, « il sera toujours au moins permis de regarder comme précaires les démonstrations fondées sur l’usage de ces mêmes formes. » [Servois 1813, 231]

Argand ne restera pas muet devant de telles critiques ; on relève notamment les déclarations suivantes dans ses Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires :

La nouvelle théorie des imaginaires […] a deux objets distincts et indépendants. Elle tend premièrement à donner une signification intelligible à des expressions qu’on était forcé d’admettre dans l’analyse, mais qu’on n’avait pas cru jusqu’ici pouvoir rapporter à aucune quantité connue et évaluable. Elle offre, en second lieu, une méthode de calcul, ou, si l’on veut, une notation d’un genre particulier, qui emploie des signes géométriques, concurremment avec les signes algébriques ordinaires. Sous ces deux points de vue, elle donne lieu aux deux questions suivantes : Est-il rigoureusement démontré, dans la nouvelle théorie, que $\sqrt{-1}$ exprime une ligne perpendiculaire aux lignes prises pour $+1$ et $-1$ ? La notation des lignes dirigées peut-elle, dans quelque cas, fournir des démonstrations préférables, sous le rapport de la simplicité, de la brièveté, etc., à celles qu’elles paraissent destinées à remplacer ? [Argand 1814, 197]

Selon Argand, si l’on s’en tient aux conséquences de l’« analogie avec les notions reçues sur les quantités positives et négatives, et sur leur proportion entre elles », la première question ne sera pas réglée. D’autant plus que les quantités négatives faisant toujours l’objet de discussions, il ne saurait en être autrement avec des « quantités imaginaires » nouvellement ou non considérées. Lorsque Français et Argand définissent ce qu’ils appellent « rapport de grandeur et de position entre deux lignes », cette relation entre « lignes données de grandeur et de direction se conçoit avec toute la précision géométrique nécessaire. […] [O]n pourra toujours en faire l’objet de raisonnements rigoureux, et en tirer les conséquences de géométrie et d’analyse […]. » (p. 198)

La question qui subsiste est de savoir si l’on peut nommer rapport, ou proportion, cette relation :

[C]ela est effectivement permis, puisque, dans la nouvelle acception, on ne fait qu’ajouter à l’ancienne, sans d’ailleurs y rien changer. On généralise celle-ci de manière que l’acception commune est, pour ainsi dire, un cas particulier de la nouvelle. Il ne s’agit donc pas de chercher ici une démonstration. (p. 198)

Il est donc question de définition, pas de démonstration ; c’est par ce biais que Argand osera reconsidérer ce que l’on doit à Euler :

On a dit (Annales, t. IV, p. 231) que Euler avait démontré $(\sqrt{-1})^{\sqrt{-1}} = e^{-\frac{1}{2} \pi}$. Le mot démontrer peut être exact, en tant qu’on regarde cette équation comme tirée de l’équation $e^{x\sqrt{-1}} = \cos. x + \sqrt{-1} \sin. x$, d’où elle dérive facilement ; mais il ne le serait pas relativement à cette dernière ; car, pour démontrer qu’une certaine expression a telle valeur, il faut premièrement avoir défini cette expression. Or, existe-t-il des puissances à exposans imaginaires une définition antérieure à ce qu’on appelle la démonstration d’Euler ? C’est ce qui ne paraît pas. Lorsque Euler a cherché à ramener l’expression $e^{x \sqrt{-1}}$ à des quantités évaluables, il a dû naturellement considérer le théorème $e^z=1+\frac{z}{1}+\frac{z^2}{1.2}+\cdots$ antérieurement prouvé pour toutes les valeurs réelles de $z$. En faisant $z=x\sqrt{-1}$, il a trouvé $e^{\sqrt{-1}} = 1+ \frac{x\sqrt{-1}}{1}- \frac{x^2}{1.2}-\cdots$ ; d’où il a dû conclure, non que $e^{x\sqrt{-1}} = \cos. x + \sqrt{-1} \sin. x$, mais que, si l’on définissait $e^{x\sqrt{-1}}$ en disant qu’elle représente une quantité égale à $\cos. x + \sqrt{-1} \sin. x$, les puissances à exposants réels et les puissances à imaginaires se trouveraient liées par une loi commune. Ce n’est donc là encore qu’une extension de principes, et non la démonstration d’un théorème. (p. 199)

Dès lors, il peut reconnaître à son tour qu’il procède de même :

C’est aussi par une extension des principes que j’ai été conduit à regarder $(\sqrt{-1})^{\sqrt{-1}}$ comme exprimant la perpendiculaire sur le plan $\pm 1$, $\pm \sqrt{-1}$. Les deux résultats se contredisent, et assurément je n’ai garde de prétendre faire prévaloir le mien ; j’ai voulu seulement faire observer que MM. Servois et Français l’ont attaqué par des considérations qui, au fond, sont de la même nature que celles sur lesquelles je m’étais appuyé pour l’établir. (p. 198-199)

Les arguments avancés pour parvenir à la réduction de l’expression « $a+b\sqrt{-1}+c\sqrt{-1}^{\sqrt{-1}}$ » à la forme « $\alpha +\beta \sqrt{-1}$ », s’appuient selon Argand sur des considérations propres aux nombres réels arbitrairement étendues au domaine imaginaire. Cependant, non sans sagesse, il se limitera à formuler la simple question suivante : « si la perpendiculaire dont il s’agit ne peut être exprimée par $(\sqrt{-1})^{\sqrt{-1}}$, quelle sera donc son expression ? » ; et de conclure que « [c]’est là une question qui semble devoir exciter la curiosité des géomètres, du moins de ceux d’entre eux qui admettent la nouvelle théorie. » (p. 199)

À la fin de sa lettre, dans cette recherche d’une construction géométrique de l’imaginaire dans l’espace, Servois évoque une « forme trinomiale » et que

l’analogie semblerait exiger que le trinôme fut de la forme $p {\rm Cos.} \ \alpha +q {\rm Cos.} \ \beta +r {\rm Cos} \ \gamma$ : $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ étant les angles d’une droite avec trois axes rectangulaires ; et qu’on eût

\[ (p {\rm Cos.} \ \alpha +q {\rm Cos.} \ \beta +r {\rm Cos.} \ \gamma)(p' {\rm Cos.} \ \alpha +q' {\rm Cos.} \ \beta +r' {\rm Cos.} \ \gamma)={\rm Cos.}^2 \alpha +{\rm Cos.}^2 \beta +{\rm Cos.}^2 \gamma =1 . \]

Les valeurs de $p$, $q$, $r$, $p'$, $q'$, $r'$ qui satisferaient à cette condition seraient absurdes ; mais seraient-elles imaginaires, réductibles à la forme générale $A+B\sqrt{-1}$ ? […] La simple proposition que je vous en fais suffit pour vous faire voir que je ne crois point que toute fonction analitique non réelle soit vraiment réductible à la forme $A+B\sqrt{-1}$. (p. 235)

Ce genre de considération se poursuivra encore longtemps. Pour seul exemple illustratif, presque caricatural mais qui est loin de faire exception dans le dernier tiers du 19e siècle, signalons François Vallès, un érudit, inspecteur général honoraire des Ponts et Chaussées, membre des Académies de Laon et de Cherbourg, auteur d’un singulier ouvrage en trois parties, intitulé Des formes imaginaires en algèbre, dans lequel il écrit encore en 1876 :

[…] L’imaginaire a été jusqu’à ce jour fort peu considéré au point de vue abstrait ; tout ce qu’on en sait à cet égard peut se borner à dire qu’on ne le comprend pas. (Avant-Propos, p. V)

[I]l n’est pas exact de prétendre que $(\sqrt{-1})^{\sqrt{-1}}$ est réel. Cette dernière expression constitue […] une espèce à part, non représentable par les autres formes connues et déjà étudiées, soit réelles, soit imaginaires, et ne saurait par conséquent être exclue de ce chef de la possibilité de devenir l’équivalent algébrique de la double perpendicularité de l’axe des $z$ sur ceux des $x$ et des $y$. (p. 54)

Nous terminerons sur une ultime figuration de l’importance de Argand, propre à illustrer, outre ce qui a été vu précédemment, sans doute ce qui est de plus essentiel dans les conséquences de son travail ; à savoir la nécessité d’un statut pour l’imaginaire. Il ne se contente plus de l’approche d’un Euler, qu’il dénonce à sa manière, et amorce une sorte d’ouverture en invitant à voir autrement :

Dans la figure de gauche, $x$ est réel, dans un univers de réels ; Dans la figure centrale, $z$ est un imaginaire qui vit dans un univers de réels (lui est appliqué ce qui est propre aux réels) ; Dans la figure de droite, $z$ est « complexe », il vit dans un univers de complexes qui contient les réels (c’est précisément là qu’intervient Argand en permettant d’appréhender cette autre voie).

Bibliographie

Argand, Jean-Robert, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. À PARIS, Chez Madame Veuve BLANC, Horloger, rue S. Honoré, N° 260, vis-à-vis la rue du Coq, 1806, en ligne. [Argand 1806]

Argand, Jean-Robert, « Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires, dans les constructions géométriques » Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 4 (1813-1814) 133-147, en ligne. [Argand 1813]

Argand, Jean-Robert, « Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analise. », Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 5 (1814-1815) 197-209, en ligne. [Argand 1814]

Argand, Jean-Robert, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques ; 2e édition précédée d’une préface par M. J. Houël et suivie d’un appendice contenant des Extraits des Annales de Gergonne, relatifs à la question des imaginaires. Paris : Gauthier-Villars, 1874, en ligne. [Argand 1874]

Bourbaki, Nicolas, Éléments d’histoire des mathématiques [1969], nouvelle édition revue, corrigée et augmentée, Collection histoire de la pensée, IV, Hermann : Paris, 1974. [Bourbaki 1974]

Cauchy, Augustin-Louis, « Mémoire sur les quantités géométriques », Œuvres Complètes (2e s.), t. XIV, 1847, p. 175-202, en ligne. [Cauchy 1847]

Flament, Dominique, Histoire des nombres complexes - Entre algèbre et géométrie, Paris : CNRS–Éditions - Histoire des sciences, 2003.

Français, Jacques-Frédéric, « Nouveaux principes de géométrie de position, et interprétation géométrique des symboles imaginaires. », Annales de mathématiques pures et appliquées, tome 4 (1813-1814) 61-71, en ligne. [Français 1813a]

Français, Jacques-Frédéric, « Sur la théorie des quantités imaginaires. », Annales de mathématiques pures et appliquées, tome 4 (1813-1814) 222-227, en ligne. [Français 1813b]

Gauss, Carl Friedrich, Werke, Dritter Band, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1866, en ligne. [Gauss 1866]

Gauss, Carl Friedrich, Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel, Herausgegeben auf Veranlassung der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften, Verlag von Wilhelm Engelmann, Leipzig, 1880, en ligne. [Gauss 1880]

Hamilton, William R., Lectures on Quaternions, London, 1853, en ligne. [Hamilton 1853]

Hankel, Hermann, Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen, Leipzig, 1867, p. 62. [Hankel 1867]

Servois, François-Joseph, « Lettre de M. Servois », Annales de mathématiques pures et appliquées, tome 4 (1813-1814), 228-235, en ligne. [Servois 1813]

Vallès, François, Des formes imaginaires en algèbre. [1] (1869, en ligne), [2] (1873), [3] (1876), Paris : Gauthier-Villars.

Verdier, Norbert, « Les journaux de mathématiques du XIXème siècle en France et en Europe. La toute première génération (1810-1850) », Images des Mathématiques, CNRS, 2009 (en ligne). [Verdier 2009]

Wessel, Caspar, Essai sur la représentation analytique de la direction, traduction française de Hieronymus Georg G. Zeuthen (1839-1920) publiée avec les trois planches de l’original et les préfaces de Hermann Valentiner (1850-1913) et Thorvald Nicolai Thiele (1838-1910) par l’Académie royale des sciences et des lettres de Danemark. Copenhague : Bianco Luno (F. Dreyer), imprimeur, 1897, en ligne. [Wessel 1897]

Dominique Flament [5]

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des mathématiques et l’auteur remercient les relecteurs Christine Huyghe, Gilles Damamme et Thomas Boulier pour leur relecture attentive et leurs commentaires avisés.

Article édité par Sébastien Gauthier

Notes

[1Dans sa thèse [Gauss 1866, 3-31]. Il ne définit pas explicitement une correspondance entre les points du plan et les « quantités imaginaires » (qui, pour lui, constituent avec les quantités réelles les « quantités possibles » [quantitatum possibilium]) ; cependant, observe Bourbaki, la « marche des idées de sa démonstration serait inintelligible si elle ne présupposait une identification pleinement consciente des points du plan et des nombres complexes. » [Bourbaki 1974, 201].

[2« Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda » (1831, April 23), [Gauss Werke 2, 169-178].

[3Quelques informations sur ce journal ici.

[4[Argand 1813]. Argand était alors non seulement lecteur de cette revue, mais aussi auteur depuis quelques mois d’un article (le 27 février 1813 ; Tome 4 (1813-1814), 29-41) consacré à la solution de deux problèmes de géométrie.

[5Cet article a pu être complété au sein de l’Instituto de Matemática e Estatística de l’Universidade de São Paulo (USP-IME) où j’étais chercheur invité du 1er mars au 31 mai 2014.

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Pour citer cet article :

Dominique Flament — «Jean-Robert Argand (1768-1822) et la quantité imaginaire ; une ouverture par-delà la réalisation géométrique et l’imitation du réel» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

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