Jouons binaire : je devine ce que tu penses !

Petite leçon d’arithmétique élémentaire

Piste bleue Le 23 avril 2019  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (9)

Ça remonte à longtemps, à beaucoup d’années et à des jours bien lointains ! En fin d’après-midi, allongé sur le lit dans ma chambre
à la résidence universitaire, je somnolais tranquillement, absent de ce qui m’entourait. Mais toc ! toc ! le silence se brise et mon ami Hamza
déboule. Euphorique comme pour m’annoncer un événement heureux ou me conter une merveilleuse histoire qu’il venait de vivre, il me salue à peine puis sort de
sa poche quelques petites cartes, avec des numéros dessus, et me demande :

— Pense à un nombre !

— N’importe lequel ?

— Compris entre $1$ et $100$.

— Très bien ! c’est fait.

— Parmi les listes qui suivent, indique-moi celles où il figure.

Je m’exécute.

\[1 \hskip0.2cm 3 \hskip0.2cm 5 \hskip0.2cm 7 \hskip0.2cm 9 \hskip0.2cm 11 \hskip0.2cm 13 \hskip0.2cm 15 \hskip0.2cm 17 \hskip0.2cm 19\]

\[21 \hskip0.2cm 23 \hskip0.2cm 25 \hskip0.2cm 27 \hskip0.2cm 29 \hskip0.2cm 31 \hskip0.2cm 33 \hskip0.2cm 35 \hskip0.2cm 37 \hskip0.2cm 39\]

\[41 \hskip0.2cm 43 \hskip0.2cm 45 \hskip0.2cm 47 \hskip0.2cm 49 \hskip0.2cm 51 \hskip0.2cm 53 \hskip0.2cm 55 \hskip0.2cm 57 \hskip0.2cm 59\]

\[61 \hskip0.2cm 63 \hskip0.2cm 65 \hskip0.2cm 67 \hskip0.2cm 69 \hskip0.2cm 71 \hskip0.2cm 73 \hskip0.2cm 75 \hskip0.2cm 77 \hskip0.2cm 79\]

\[81 \hskip0.2cm 83 \hskip0.2cm 85 \hskip0.2cm 87 \hskip0.2cm 89 \hskip0.2cm 91 \hskip0.2cm 93 \hskip0.2cm 95 \hskip0.2cm 97 \hskip0.2cm 99\]

\[\hbox{Grille 0}\]

\[2 \hskip0.2cm 3 \hskip0.2cm 6 \hskip0.2cm 7 \hskip0.2cm 10 \hskip0.2cm 11 \hskip0.2cm 14 \hskip0.2cm 15 \hskip0.2cm 18 \hskip0.2cm 19\]

\[22 \hskip0.2cm 23 \hskip0.2cm 26 \hskip0.2cm 27 \hskip0.2cm 30 \hskip0.2cm 31 \hskip0.2cm 34 \hskip0.2cm 35\]

\[38 \hskip0.2cm \hskip0.2cm 39 \hskip0.2cm 42 \hskip0.2cm 43 \hskip0.2cm 46 \hskip0.2cm 47 \hskip0.2cm 50 \hskip0.2cm 51\]

\[54 \hskip0.2cm 55 \hskip0.2cm 58 \hskip0.2cm 59 \hskip0.2cm 62 \hskip0.2cm 63 \hskip0.2cm 66 \hskip0.2cm 67\]

\[70 \hskip0.2cm 71 \hskip0.2cm 74 \hskip0.2cm 75 \hskip0.2cm 78 \hskip0.2cm 79 \hskip0.2cm 82 \hskip0.2cm 83\]

\[86 \hskip0.2cm 87 \hskip0.2cm 90 \hskip0.2cm 91 \hskip0.2cm 94 \hskip0.2cm 95 \hskip0.2cm 98 \hskip0.2cm 99\]

\[\hbox{Grille 1}\]

\[4 \hskip0.2cm 5 \hskip0.2cm 6 \hskip0.2cm 7 \hskip0.2cm 12 \hskip0.2cm 13 \hskip0.2cm 14 \hskip0.2cm 15 \hskip0.2cm 20\]

\[21 \hskip0.2cm 22 \hskip0.2cm 23 \hskip0.2cm 28 \hskip0.2cm 29 \hskip0.2cm 30 \hskip0.2cm 31 \hskip0.2cm 36\]

\[37 \hskip0.2cm 38 \hskip0.2cm 39 \hskip0.2cm 44 \hskip0.2cm 45 \hskip0.2cm 46 \hskip0.2cm 47 \hskip0.2cm 52\]

\[53 \hskip0.2cm 54 \hskip0.2cm 55 \hskip0.2cm 60 \hskip0.2cm 61 \hskip0.2cm 62 \hskip0.2cm 63 \hskip0.2cm 68\]

\[69 \hskip0.2cm 70 \hskip0.2cm 71 \hskip0.2cm 76 \hskip0.2cm 77 \hskip0.2cm 78 \hskip0.2cm 79 \hskip0.2cm 84\]

\[85 \hskip0.2cm 86 \hskip0.2cm 87 \hskip0.2cm 92 \hskip0.2cm 93 \hskip0.2cm 94 \hskip0.2cm 95 \hskip0.2cm 100\]

\[\hbox{Grille 2}\]

\[8 \hskip0.2cm 9 \hskip0.2cm 10 \hskip0.2cm 11 \hskip0.2cm 12 \hskip0.2cm 13 \hskip0.2cm 14 \hskip0.2cm 15\]

\[24 \hskip0.2cm 25 \hskip0.2cm 26 \hskip0.2cm 27 \hskip0.2cm 28 \hskip0.2cm 29 \hskip0.2cm 30 \hskip0.2cm 31\]

\[40 \hskip0.2cm 41 \hskip0.2cm 42 \hskip0.2cm 43 \hskip0.2cm 44 \hskip0.2cm 45 \hskip0.2cm 46 \hskip0.2cm 47\]

\[56 \hskip0.2cm 57 \hskip0.2cm 58 \hskip0.2cm 59 \hskip0.2cm 60 \hskip0.2cm 61 \hskip0.2cm 62 \hskip0.2cm 63\]

\[72 \hskip0.2cm 73 \hskip0.2cm 74 \hskip0.2cm 75 \hskip0.2cm 76 \hskip0.2cm 77 \hskip0.2cm 78 \hskip0.2cm 79\]

\[88 \hskip0.2cm 89 \hskip0.2cm 90 \hskip0.2cm 91 \hskip0.2cm 92 \hskip0.2cm 93 \hskip0.2cm 94 \hskip0.2cm 95\]

\[\hbox{Grille 3}\]

\[16 \hskip0.2cm 17 \hskip0.2cm 18 \hskip0.2cm 19 \hskip0.2cm 20 \hskip0.2cm 21 \hskip0.2cm 22 \hskip0.2cm 23\]

\[24 \hskip0.2cm 25 \hskip0.2cm 26 \hskip0.2cm 27 \hskip0.2cm 28 \hskip0.2cm 29 \hskip0.2cm 30 \hskip0.2cm 31\]

\[48 \hskip0.2cm 49 \hskip0.2cm 50 \hskip0.2cm 51 \hskip0.2cm 52 \hskip0.2cm 53 \hskip0.2cm 54 \hskip0.2cm 55\]

\[56 \hskip0.2cm 57 \hskip0.2cm 58 \hskip0.2cm 59 \hskip0.2cm 60 \hskip0.2cm 61 \hskip0.2cm 62 \hskip0.2cm 63\]

\[80 \hskip0.2cm 81 \hskip0.2cm 82 \hskip0.2cm 83 \hskip0.2cm 84 \hskip0.2cm 85 \hskip0.2cm 86 \hskip0.2cm 87\]

\[88 \hskip0.2cm 89 \hskip0.2cm 90 \hskip0.2cm 91 \hskip0.2cm 92 \hskip0.2cm 93 \hskip0.2cm 94 \hskip0.2cm 95\]

\[\hbox{Grille 4}\]

\[32 \hskip0.2cm 33 \hskip0.2cm 34 \hskip0.2cm 35 \hskip0.2cm 36 \hskip0.2cm 37 \hskip0.2cm 38\]

\[39 \hskip0.2cm 40 \hskip0.2cm 41 \hskip0.2cm 42 \hskip0.2cm 43 \hskip0.2cm 44\]

\[45 \hskip0.2cm 46 \hskip0.2cm 47 \hskip0.2cm 48 \hskip0.2cm 49 \hskip0.2cm 50\]

\[51 \hskip0.2cm 52 \hskip0.2cm 53 \hskip0.2cm 54 \hskip0.2cm 55 \hskip0.2cm 56\]

\[57 \hskip0.2cm 58 \hskip0.2cm 59 \hskip0.2cm 60 \hskip0.2cm 61 \hskip0.2cm 62\]

\[63 \hskip0.2cm 96 \hskip0.2cm 97 \hskip0.2cm 98 \hskip0.2cm 99 \hskip0.2cm 100\]

\[\hbox{Grille 5}\]

\[64 \hskip0.2cm 65 \hskip0.2cm 66 \hskip0.2cm 67 \hskip0.2cm 68 \hskip0.2cm 69 \hskip0.2cm 70\]

\[71 \hskip0.2cm 72 \hskip0.2cm 73 \hskip0.2cm 74 \hskip0.2cm 75 \hskip0.2cm 76\]

\[77 \hskip0.2cm 78 \hskip0.2cm 79 \hskip0.2cm 80 \hskip0.2cm 81 \hskip0.2cm 82\]

\[83 \hskip0.2cm 84 \hskip0.2cm 85 \hskip0.2cm 86 \hskip0.2cm 87 \hskip0.2cm 88\]

\[89 \hskip0.2cm 90 \hskip0.2cm 91 \hskip0.2cm 92 \hskip0.2cm 93 \hskip0.2cm 94\]

\[95 \hskip0.2cm 96 \hskip0.2cm 97 \hskip0.2cm 98 \hskip0.2cm 99 \hskip0.2cm 100\]

\[\hbox{Grille 6}\]

— C’est fini ? quelles sont tes grilles ? Me relance-t-il.

— La $1$, la $4$ et la $5$.

— Alors je peux te dire à quel nombre tu as pensé.

— Ah oui ! et lequel ?

— Le nombre...

— Oui, c’est ça. Incroyable ! Et comment tu fais ?

— À toi de trouver, tu es mathématicien, n’est-ce pas ?

J’étais étudiant en maths mais de là à être mathématicien... j’avais encore une sacrée trotte à parcourir !

Il m’a laissé mariner et n’a pas voulu me donner la moindre indication. Mais je l’ai harcelé pour qu’au moins il me fasse jouer plusieurs fois. J’ai alors remarqué que le nombre auquel
j’ai pensé à chaque tour du jeu est...
Toutefois, cela ne me disait guère
ni pourquoi c’est vraiment ça ni comment les listes des nombres
ont été fabriquées (et Hamza ne le savait pas non plus, il se contentait d’appliquer sa recette secrète telle quelle).
J’ai cherché tout de même à bien comprendre mais je n’ai pas eu le temps de pousser ma curiosité,
des amis communs sont arrivés et nous ont entraînés dans le projet de sortie qu’ils avaient planifié ce soir-là. Hamza
avait beau tenter de les faire jouer aussi mais rien à faire, ils l’ont envoyé balader. Depuis lors, je n’ai plus repensé à ce jeu,
et l’ai presque oublié.

Ce n’est que beaucoup plus tard que je me suis remis dessus, et de façon très motivée. Il y a quelques années, j’ai commencé à
intervenir dans des classes de lycées et collèges en formation continue et animation d’ateliers
à diverses occasions (Rallye IREM, Stage de seconde, Semaine des maths...).
Comme presque toutes mes interventions étaient en géométrie, une fois je me suis dit qu’il fallait vraiment que j’en sorte un peu et que j’aborde d’autres thèmes (et il y en a tellement en maths). Je me suis alors rappelé
de la « devinette du jeu de cartes » de Hamza et j’ai pensé que ce serait non seulement un bon sujet à cet effet mais aussi l’opportunité de
dispenser, de façon ludique (ça passe mieux auprès des élèves), une leçon d’arithmétique élémentaire.
C’est ce que je me propose de traiter ce mois-ci dans la rubrique
Mathématiques de l’enseignement et plus, espérant que le texte aura une quelconque utilité en tant que ressource pédagogique.

Alors chut ! si vous connaissez, gardez le silence !

1. Le système décimal

Les premières opérations usuelles sont l’addition, la multiplication, la soustraction et la division,
toutes nées pour les besoins de la vie quotidienne. Pour deux entiers $m$ et $n$, la somme $m+n=n+m$
compte les éléments de la réunion de deux ensembles disjoints (leurs
éléments sont de même nature) et dont leurs nombres respectifs sont $m$ et $n$ ; le produit $m\times n=n\times m$ celui de la réunion de $m$ ensembles ayant chacun $n$ éléments
(ou $n$ ensembles ayant chacun $m$ éléments).
Et comme nous le savons tous, soustraire $n$ de $m$
« n’est possible » que si $m\geq n$ ; mais les mathématiciens ont su pallier le problème et donner un sens à $m-n$ même si $n>m$, en
étendant la notion de nombre entier naturel à celle d’entier relatif. La division
est une opération à part sur laquelle on portera un peu plus notre attention. Mais rappelons d’abord quelques définitions élémentaires et
fixons des notations.

1.1. Puissance d’un nombre

Soient $u$ et $n$ deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle
que la puissance $n^{ème}$ de $u$ est le nombre entier noté $u^n$ et
défini par :

\[u^n=\overbrace{u\times \cdots \times u}^{\hbox{n fois}}.\]

Par convention $u^0=1$.
On a les règles de calcul : $(u\times v)^n=u^n \times v^n$ et
$u^{n+m}=u^n \times u^m$. Par contre, on n’a pas $(u+v)^n=u^n + v^n$ lorsque les nombres $u$ et $v$ sont tous les deux non nuls.

Nous verrons par la suite l’intérêt fondamental des puissances successives des nombres $10$ et $2$ respectivement dans les deux systèmes de numération les plus utilisés : le décimal et le binaire.

1.2. Quotient et reste

Comment procède-t-on pour la division ? J’ai des réminiscences de la façon dont ça se passait dans certains souks de ma ville natale
quand il s’agissait de répartir une quantité d’objets (tous identiques) entre un certain nombre de personnes. Si on avait à partager par exemple $47$ poires entre
$7$ personnes, on faisait de la sorte :

$\bullet $ On donne une poire à chacune des $7$ personnes sans en oublier aucune ; puis une deuxième et on répète l’opération jusqu’à ne plus pouvoir le faire.

$\bullet $ Juste après le sixième tour, il ne reste pas assez de poires pour un septième : il n’y en a plus que $5$.

On a donc la disposition ci-dessous : les $6$ premières lignes contiennent chacune $7$ poires et forment un rectangle, mais $5$ restent en rade. La totalité des poires est donc
le nombre de celles qui sont sur ce rectangle et les $5$ sur la dernière ligne « incomplète » i.e. on a : $47 = 6\times 7 + 5$.

De façon formelle, on a la proposition suivante, qui n’est que la traduction générale de ce qu’on vient d’opérer
dans un exemple numérique particulier :

Soient $u$ et $b$ deux nombres entiers strictement positifs. Il existe alors deux entiers uniques $q$ et $r$ tels que :

\[u=qb+r\hskip0.5cm \hbox{avec} \hskip0.5cm 0\leq r\leq b-1.\]

On dira que $q$ est le quotient de la division de $u$
par $b$ et que $r$ en est le reste. Par exemple (en plus de celui qu’on vient de donner) :

\[129=25\times 5+4 \hskip0.5cm \hbox{(u=129, b=5, q=25 et r=4)}\]

\[258=11\times 23+5 \hskip0.5cm \hbox{(u=258, b=23, q=11 et r=5)}\]

Si $r=0$, on dira que $b$ divise $u$ (ou que $b$ est un diviseur de $u$) ; ou encore que $u$ est un multiple de $b$. Lorsque le nombre $u$
est au moins $2$ et n’a pour seuls
diviseurs que $1$ et lui-même, on dira que $u$ est un nombre premier ; par exemple $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$... Mais nous n’allons pas nous étendre là-dessus, ce n’est
pas le propos ici.

1.3. L’écriture d’un nombre

Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération.
Celui que l’on connaît le plus est le système décimal composé des $10$
chiffres :

\[0\hskip0.8cm 1\hskip0.8cm 2\hskip0.8cm 3\hskip0.8cm 4\hskip0.8cm 5\hskip0.8cm 6\hskip0.8cm 7\hskip0.8cm 8\hskip0.8cm 9\]

Par exemple les nombres :

\[7\]

\[32\]

\[247\]

\[1\hskip0.05cm 032\]

\[18\hskip0.05cm 546\]

\[365\hskip0.05cm 249\]

\[4\hskip0.05cm 985\hskip0.05cm 321\]

$\bullet $ Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une
« indication » sur sa taille :
plus il y en a, plus ce nombre paraît grand !

— Les chiffres peuvent se répéter, par exemple dans $2\hskip0.05cm 099\hskip0.05cm 777\hskip0.05cm 444$.

— Le premier (en partant de la gauche) est toujours différent de $0$.

— Un nombre à $k\geq 1$ chiffres est compris entre $10^{k-1}$ et $10^k$ (sans lui être égal).

— Par exemple un nombre à $4$ chiffres est compris entre $1\hskip0.05cm 000$ et $9\hskip0.05cm 999$.

— $\cdots $

Prenons le nombre $u=3274$. On peut le décomposer comme suit :

\[ \eqalign{3274 &= 3\hskip0.05cm 000 + 200 + 70 +4 \cr & = 3\times 1000+2\times 100+7\times 10+4\times 1\cr & = 3\times 10^3+2\times 10^2+7\times 10^1+4\times 10^0.}\]

Faisons la même chose pour $v=14\hskip0.05cm 305$ :

\[ \eqalign{14\hskip0.05cm 305 &= 10\hskip0.05cm 000 + 4\hskip0.05cm 000 + 300 +5 \cr & = 1\times 10\hskip0.05cm 000+4\times 1\hskip0.05cm 000+3\times 100+0\times 10+5\times 1\cr & = 1\times 10^4+4\times 10^3+3\times 10^2+0\times 10^1+5\times 10^0.}\]

De façon générale, tout nombre entier $u$ à $k+1$ chiffres, se représente symboliquement :

\[u=u_ku_{k-1}\cdots u_1u_0\]

où $u_i\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $ avec $u_k\neq 0$. Si on pose $d=10$, $u$ se décompose en la somme :

\[u=u_kd^k+u_{k-1}d^{k-1}+\cdots +u_1d^1+u_0d^0.\]

Tout entier $u$ s’écrit sous cette forme, et de façon unique i.e. si :
\[u=u_kd^k+u_{k-1}d^{k-1}+\cdots +u_1d^1+u_0d^0\]
et :
\[v=v_\ell d^\ell +v_{\ell -1}d^{\ell -1}+\cdots +v_1d^1+v_0d^0,\]
alors $u=v$ si, et seulement si, $k=\ell $ et $u_k=v_k,\cdots ,u_0=v_0.$

On peut voir la suite des puissances de $10$ sous la forme des paquets qui suivent :

\[10 =\overbrace{\heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit }^{\hbox{paquet de 10}} =\spadesuit \]
\[100=10^2 =\cases{ \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit \heartsuit } = \overbrace{\spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit }^{\hbox{paquet de 10}} =\clubsuit \]

\[1000 =10^3=\overbrace{\clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit }^{\hbox{paquet de 10}} =\bigstar \]
\[10^4 =\cases{ \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \cr \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \cr \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \cr \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \cr \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \cr \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \cr \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \cr \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \cr \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \cr \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit } = \overbrace{\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar }^{\hbox{paquet de 10}} =\diamondsuit \]

$\bullet $ Existe-t-il des systèmes de numération autres que le système décimal ?

La réponse est évidemment oui ! Tout entier naturel $b\geq 2$ peut jouer le même rôle
que la base $d=10$.
Mais il y a un premier problème : si $b\geq 11$, par exemple $b=12$, il faut trouver des symboles pour compléter l’ensemble des chiffres :
\[ \{ 0,\hskip0.1cm 1,\hskip0.1cm 2,\hskip0.1cm 3,\hskip0.1cm 4,\hskip0.1cm 5,\hskip0.1cm 6,\hskip0.1cm 7,\hskip0.1cm 8,\hskip0.1cm 9\} \]
afin de représenter $10$ et $11$. On peut bien entendu faire cela en notant $10$ par $\alpha $ et
$11$ par $\beta $ mais on risque de s’y perdre : on est trop habitué à n’utiliser que les chiffres $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ !

$\bullet $ Supposons $b\leq 9$. Sachant qu’on sait écrire n’importe quel entier
dans le système décimal, quelle serait la base minimale $b$ permettant d’en donner une représentation ?

On a écarté $b=1$ car $b^k=1^k=1$ pour tout entier $k$ ; on n’aura donc pas une base.
Au minimum on doit prendre $b=2$. Dans ce cas on choisira
les deux chiffres $0$ et $1$ pour la numération. On obtient alors
un système dont le principe consiste à compter par paquet de $2$ et qu’on appelle système binaire.
C’est un système de numération utilisé de façon dense en Informatique ; mais nous n’aborderons pas du tout cet aspect,
nous nous contenterons d’en décrire les éléments qui nous permettront de montrer comment on trouve les clés de notre jeu.

2. Le système binaire

\[2 =\overbrace{\heartsuit \heartsuit }^{\hbox{paquet de 2}} =\spadesuit \]

\[4 =2^2 = \cases{ \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit } = \overbrace{\spadesuit \spadesuit }^{\hbox{paquet de 2}} =\clubsuit \]

\[8 =2^3 =\cases{ \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit \cr \heartsuit \heartsuit } =\cases{ \spadesuit \spadesuit \cr \spadesuit \spadesuit } = \overbrace{\clubsuit \clubsuit }^{\hbox{paquet de 2}} = \diamondsuit \]

2.1. Quelques exemples d’abord

$\bullet $ Prenons le nombre $u=221$. On peut le décomposer en une somme :

\[\eqalign{ 221 &=128+64+16+8+4+1 \cr &=2^7+2^6+2^4+2^3+2^2+1 \cr &=1\cdot 2^7+1\cdot 2^6+0\cdot 2^5+1\cdot 2^4+ 1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0 }\]

$\bullet $ De même, pour $v=78$, on peut écrire :

\[\eqalign{ 78 &=64+8+4+2 \cr &=2^6+2^3+2^2+2 \cr &=1\cdot 2^6+0\cdot 2^5+ 0\cdot 2^4 +1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0}\]

Que remarque-t-on ?

$\bullet $ Les nombres que nous avons considérés s’écrivent sous forme d’une somme de puissances de $b=2$ !

Pour $u=221$, on a utilisé $1=2^0$, $4=2^2$, $2^3$, $2^4$,
$2^6$ et $2^7$. Il manque les deux puissances $2^1$ et $2^5$ ! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient $0$.

On peut faire le même constat pour $v=78$ : on a utilisé $2=2^1$, $2^2$, $2^3$ et $2^6$.
Il manque les trois puissances $2^0$,
$2^4$ et $2^5$ ! Comme pour le nombre précédent,
elles sont là aussi mais affectées du coefficient $0$.

En binaire, ces deux nombres s’écrivent donc : $u=11011101$
et $v=1001110$.

2.2. Écriture générale

$\bullet $ Soit $u\geq 1$ un entier naturel écrit dans le système décimal.
On souhaite l’écrire dans le système binaire, c’est-à-dire le représenter
sous la forme :

\[u=\varepsilon_k\varepsilon_{k-1}\cdots \varepsilon_1\varepsilon_0\]
où chacun des $\varepsilon_{k-1},\cdots ,\varepsilon_0$ est soit $0$ soit $1$
et $\varepsilon_k=1$.

$\bullet $ Cela signifie que :

\[\eqalign{ u&=\varepsilon_k\cdot 2^k+\varepsilon_{k-1}\cdot 2^{k-1}+\cdots +\varepsilon_1\cdot 2^1+\varepsilon_0\cdot 2^0\cr &= 2^k\varepsilon_k+2^{k-1}\varepsilon_{k-1}+\cdots +2\varepsilon_1+\varepsilon_0}\]

$\bullet $ Les nombres $\varepsilon_k,\varepsilon_{k-1}\cdots ,\varepsilon_1, \varepsilon_0$ sont les
coefficients binaires de l’entier $u$.

Comment trouver les coefficients $\varepsilon_k,\varepsilon_{k-1}\cdots ,\varepsilon_1, \varepsilon_0$ ?

$\bullet $ On part de la quantité $2^k\varepsilon_k+2^{k-1}\varepsilon_{k-1}+\cdots +2\varepsilon_1+\varepsilon_0$. C’est équivalent à :
$u= 2q_1+\varepsilon_0$
où $q_1=2^{k-1}\varepsilon_k+\cdots +2\varepsilon_2+\varepsilon_1$. Donc $\varepsilon_0$ est le reste $r_0$ de la
division de $u$ par $2$ ; il est forcément égal soit à $0$ soit à $1$.

$\bullet $ L’écriture de $q_1=2^{k-1}\varepsilon_k+\cdots +2\varepsilon_2+\varepsilon_1$ est similaire
à l’écriture initiale de $u$. Pour trouver $\varepsilon_1$, il suffit donc de faire comme précédemment : on divise $q_1$
par $2$
et on retient le reste $r_1$ qui ne sera rien d’autre que $\varepsilon_1$, c’est-à-dire $0$
ou $1$ ! Ainsi $q_1=2q_2+r_1$ avec
$q_2=2^{k-2}\varepsilon_k+\cdots +2\varepsilon_3+\varepsilon_2$.

$\bullet $ On applique à $q_2$ exactement la même chose : le reste
$r_2$ de la division de $q_2$ par $2$
donne $\varepsilon_2$ qui sera $0$ ou $1$ !

$\bullet $ On continue ainsi jusqu’à ce qu’on arrive à l’étape $i$ telle que $q_i=1$, et qui est en fait le quotient $q_{k-1}$. D’où
$\varepsilon_k=r_k=1$.

2.3. L’algorithme

Soit $u>0$ un entier naturel. Voici comment on
obtient les coefficients binaires $\varepsilon_k,\varepsilon_{k-1}\cdots ,\varepsilon_1, \varepsilon_0$.

\[\eqalign{ u&= 2q_1+r_0\cr q_1&=2q_2+r_1\cr q_2&=2q_3+r_2 \cr \cdots &=\cdots \cr q_{k-2}&=2q_{k-1}+r_{k-2} \cr q_{k-1}&=2q_k+r_{k-1} \cr q_k&=2\times 0+r_k. }\]

On a alors :

\[\varepsilon_0=r_0, \varepsilon_1=r_1, \cdots ,\varepsilon_{k-1}=r_{k-1},\varepsilon_k=r_k.\]

2.4. Application

On prend $u=221$ et on lui applique l’algorithme :

\[\eqalign{ 221&= 2\times 110 +1\cr 110&=2\times 55+0\cr 55&=2\times 27+1 \cr 27 &=2\times 13+1\cr 13&=2\times 6+1 \cr 6&=2\times 3+0\cr 3&=2\times 1+1\cr 1&=2\times 0+1. }\]

Par suite $221$ s’écrit $11011101$ dans le sysème binaire. Vérifions cela :

\[\eqalign{ u&= 1\cdot 2^7+1\cdot 2^6+0\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0\cr & =128+64+16+8+4+1\cr & =221. }\]

3. Exercices

3.1. Écris les nombres qui suivent dans le système binaire :

\[u=4\hskip0.5cm v=256 \hskip0.5cm w= 511 \hskip0.5cm z=133.\]

3.2. Les nombres ci-dessous sont écrits dans le système binaire. Convertis-les dans le système décimal.

\[u'=10\hskip0.5cm v'=1111111111 \hskip0.5cm w'= 10011 \hskip0.5cm z'=100001.\]

3.3. Pour chacune des puissances de $2$ qui suivent, donne la façon de procéder permettant de dresser la liste des nombres de $1$ à $100$ qui la contiennent dans leur décomposition :

\[1=2^0,\hskip0.2cm 2=2^1, \hskip0.2cm 4=2^2,\hskip0.2cm 8=2^3,\hskip0.2cm 16=2^4,\hskip0.2cm 32=2^5\hskip0.2cm \hbox{et}\hskip0.2cm 64=2^6.\]

3.4. Compare ces listes aux grilles données tout au début de ce document.

3.5. Si tu as du courage, fabrique les listes supplémentaires pour avoir un jeu qui permet de deviner un nombre compris entre $1$ et $500$, ou même plus si tu veux !

3.6. Je joue à la devinette avec toi. Je pense à un nombre entre $1$ et $100$. En utilisant tes grilles, dis-moi lequel.

3.7. À quel nombre j’avais pensé quand Hamza m’avait fait jouer la première fois ?

4. Épilogue

Le système binaire, d’une utilité incontestable comme tout le monde le sait, peut perturber considérablement notre mode de penser et notre façon de fonctionner si on le met en pratique dans notre vie quotidienne. L’exemple ci-dessous nous en donne une idée.

Il peut aussi amener à se faire quelques illusions, qui finissent
par une grosse déception, comme dans la petite histoire qui suit !

Le Maréchal Toto

A gagné au Loto !

$1\hskip0.05cm 000\hskip0.05cm 000$ d’euros !

Tout joyeux, il court vers les locaux de La Française des Jeux
pour réclamer son dû. Il s’attendait à recevoir, sous les acclamations
et en grande pompe, un chèque grand format
avec dessus en chiffres géants $1$ suivi de six $0$ ! Mais personne n’était là pour le lui remettre comme il
l’espérait. Seul un monsieur, tenant un petit guichet au fond d’une salle, le reconnut et l’interpelle :

— Qu’est-ce qui vous amène par ici
Maréchal ?

— J’aimerais récupérer mon gain !

— Faites voir votre billet, s’il vous plaît.

Le Maréchal le lui remet. Monsieur FdJ le regarde, tout souriant et lui dit :

— Ah ! vous avez de la chance, c’est ici qu’on paie de telles sommes.

— Bien alors. Auriez-vous besoin de ma pièce d’identité ?

— Non, vous êtes connu Maréchal !

Puis il plonge sa main
dans un tiroir, en sort trois billets de vingt euros et deux pièces de deux euros ; il les lui tend.

— Et voici pour vous !

Interloqué et d’un coup devenu pâle, Le Maréchal Toto sursaute et lui lance :

— Ce n’est pas ce que j’ai gagné, c’est beaucoup plus que ça !

— Non absolument pas, lui rétorque monsieur FdJ.

— Mais regardez, un million d’euros, et il le lui écrit sur un papier qui traînait sur le comptoir : $1\hskip0.05cm 000\hskip0.05cm 000$.

— Certes, c’est bien ça
mais c’est écrit en binaire.

— En binaire ?

— Oui, en binaire. C’est le nouveau système de numération que nous ont imposé récemment les autorités.
Et nul n’est censé ignorer la loi, Maréchal ! conclut ironiquement monsieur FdJ.

Coup de trompette, garde à vous ! Secoué, Le Maréchal Toto se réveille.

— Dieu merci ! s’exclama-t-il, ce n’était qu’un rêve !

— Heureusement pour vous, Maréchal ! pas trop de déception cette fois-ci.

Mais un jour ce sera sûrement la réalité !

$-----------------------------------------------$

Je dédie ce texte à la mémoire de mon ami Hamza qui m’a fait découvrir ce jeu de cartes. Avec lui, et le groupe d’amis de l’époque, nous avions partagé, presque tous les jours, des moments d’insouciance et de bonheur. Il nous a quittés le 23 avril 2016 mais il reste toujours vivant dans nos coeurs et présent dans nos mémoires.

$-----------------------------------------------$

$\bullet $ Pour ceux que ça intéressse, voici le fichier que j’ai utilisé lors de mes interventions sur ce thème (en 2012 et 2013) devant les élèves de lycées et collèges.

$\bullet $ Petite mise au point (au 25 avril 2019) : Patrick Popescu-Pampu vient de me rappeler qu’il avait écrit
en juin 2014 un billet court sur ce jeu binaire qu’il avait extrait du livre de Lucas (page 155).

Post-scriptum :

Mario, Jean-Romain Heu, Jean Aymès et Lafrizi ont accepté de donner de leur temps pour faire la relecture de ce texte.
Leurs remarques et suggestions m’ont permis d’en améliorer la présentation. Je les en remercie vivement !

Article édité par Aziz El Kacimi

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Jouons binaire : je devine ce que tu penses !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Danse binaire de la main, par Vi Hart.

    le 23 avril à 10:44, par Carlo

    Cher Prof. El Kacimi Alaoui,
    merci beaucoup pour votre article.
    On peut compter par les mains, comme la sympathique musicienne et mathématique Vi Hart nous montre ici :

    https://www.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/singing/v/binary-hand-dance

    https://en.wikipedia.org/wiki/Vi_Hart

    http://vihart.com

    Oui, je pense que vous étiez déjà un mathématicien, lorsque votre ami Hamza vous proposa la devinette, parce que un(e) mathématicien(ne) est chaque personne qui aime les mathématiques et non pas seulement les mathématicien(ne)s professionnel(le)s. C’est la raison parce que j’appelle Vi une mathématicienne.

    Maintenant Hamza se trouve en bonne compaignie, car il propose ses devinettes à Wolfgang Mozart, qui ne les résout pas, mais il rit beaucoup, et il chante et il attaque Hamza par dizaines de devinettes musicales, qui Hamza ne sait pas résoudre, mais il rit. Alors Wolfgang appelle Galois et lui demande aide avec les mathématiques et Galois fait semblant de ne dire rien, mais il n’est pas bon à feindre, car il a trop envie de rire. Alors Hamza appelle Gerswhin et se fait aider par lui avec les devinettes musicales, mais Georges appelle son frère Ira, qui arrive avec Romain Gary en chantant la « Colonel Bogey March ».
    Hamza, et tous les autres, maintenant sont bien vifs dans les coeurs et les esprits de tous ces qui les ont connuis at aimés. :-)

    Répondre à ce message
    • Danse binaire de la main, par Vi Hart.

      le 26 avril à 09:23, par Aziz El Kacimi

      Cher Carlo,

      Merci pour les liens et surtout pour votre commentaire, si gentil et plein de bienveillance !

      De son vivant, je suis sûr que Hamza aurait bien aimé être mêlé à votre histoire sur ces fameux personnages (Mozart, Galois, Gary,...) qui ont apporté de la substance dans divers domaines !

      Amicalement,

      Aziz

      Répondre à ce message
  • Avec un peu de Python

    le 23 avril à 18:46, par llesk

    C’est le genre de cas où un peu de programmation avec Python peu aider à visualiser les choses :

    # Génération des 7 grilles (...)

    # Génération des 7 grilles :

    grilles = [{nbr for nbr in range(1,101) if len(bin(nbr)) > i and (bin(nbr)[-i]) == "1"} for i in range(1, 8)]

    # Retrouver le nombre sans

    # Retrouver le nombre sans avoir compris le principe:
    contiennent_nbr = input("Dans quelles grilles se trouvent votre nombre (format: 0, 2, 5)\n")
    contiennent_nbr = list(map(int, contiennent_nbr.split(",")))
    unCent = {nbr for nbr in range(1,101)}
    mystere = {nbr for nbr in range(1,101)}
    for i in range(7):
       if i in contiennent_nbr:
           mystere = mystere.intersection(grilles[i])
       else:
           mystere = mystere.intersection(unCent - grilles[i])
    print(mystere)
    Répondre à ce message
  • Jouons binaire : je devine ce que tu penses !

    le 6 mai à 13:36, par Christian Aebi

    Salut Aziz,

    Merci pour ton article très sympa.
    Il me donne envie d’introduire un peu plus de magie dans mon cours, aussi bien au sens propre que figuré ;-)

    A bientôt

    Christian

    Répondre à ce message
    • Jouons binaire : je devine ce que tu penses !

      le 8 mai à 12:40, par Aziz El Kacimi

      Merci Christian pour ton gentil commentaire !

      Amicalement,

      Aziz

      Répondre à ce message
  • Jouons binaire : je devine ce que tu penses !

    le 12 mai à 09:45, par Cidrolin

    Bonjour,

    Un bon article très pédagogique !

    Le mathématicien Irving Adler (1913-2012) avait proposé dans « Magic House of Numbers » en 1957, un système de cinq cartes trouées pour trouver un nombre entre 1 et 31.
    Cela me semble un prolongement de votre article. J’ai copié la page 78 :
    http://zupimages.net/viewer.php?id=19/19/f7xy.png

    Amicalement
    Édouard Cidrolin.

    Répondre à ce message

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