Un défi par semaine

Juillet 2015, 1er défi

Le 3 juillet 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 27 :

Dans un triangle isocèle $ABC$, les côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont égaux. Un point $D$ appartenant au côté $[AC]$ est placé de façon que les triangles $ABD$ et $DBC$ soient aussi isocèles. Si $BD=BC$, déterminer la mesure de l’angle $\widehat{BCA}.$

Solution du 4ème défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $100$.

Notons que $p$ est égal à $3$ ou est de la forme $3k+1$ ou $3k+2$, avec $k$ entier et $k\geq 1$. Si $p=3$, alors $p+6=3+6=9$ qui n’est pas premier. Si $p=3k+2$, alors

$p+10=3k+2+10=3k+12=3(k+4)$

n’est pas non plus premier puisque multiple de 3. Il ne reste donc que la forme $p=3k+1$.
De façon analogue, comme $p+q+1$ est un nombre premier et que $p=3k+1$, alors $q$ ne peut pas être de la forme $3r+1$ pour $r$ entier et $r\geq 1$. Si $q=3r+2$, alors

$q+4=3r+2+4=3r+6=3(r+2),$

qui n’est pas premier puisque multiple de 3. On en déduit que $q$, qui est premier, ne peut être que $3$.

Comme nous voulons la plus grande valeur possible de $p+q$, nous cherchons pour $p$ le plus grand nombre premier inférieur à $100$ et qui soit de la forme $3k+1$,
c’est-à-dire $97$. Nous avons alors $p+6=103$, $p+10=107$, $q+4=7$, $q+10=13$ et $p+q+1=101$, tous des nombres premiers. La plus grande valeur de $p+q$ est donc $100$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2015, 1er défi

    le 3 juillet 2015 à 10:57, par orion8

    Soit x la mesure de l’angle BCA en degrés.
    Dans BCD isocèle en B, les angles sont donc x à la base et 180 - 2x au sommet.
    Donc, dans ABD isocèle en D, les angles sont 180 - x au sommet et x/2 à la base.
    Enfin, dans ABC isocèle en A, on doit avoir x = x/2 + 180 - 2x
    ce qui donne BCA = 72°.

    Répondre à ce message

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