Un défi par semaine

Juillet 2015, 2e défi

Le 10 juillet 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 28 :

La suite de nombres $5$ ; $5$ ; $-13$ ; $5$ ; $5$ ; $5$ ; $-13$ ; $5$ ; $5$ ; $-13$ ; $5$ ; $5$ ; $5$ ; $-13$ a la propriété suivante : la somme de sept nombres consécutifs pris dans cette suite est $-1$ et la somme de onze nombres consécutifs est $1$. Combien de nombres $5$ ou $-13$ peut-on rajouter à droite de cette suite de manière que la propriété soit conservée ?

Solution du 1er défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $\widehat{BCA}=72^{\circ}$.

Comme le triangle $ABC$ est isocèle et $AB=AC$, nous avons

$\widehat{CAB} = 180^\circ - 2\widehat{BCA}.$

PNG - 21.3 ko

Maintenant, comme le triangle $DBC$ est isocèle (puisque $BD=BC$), nous avons $\widehat{BCA}=\widehat{CDB}$. Finalement, comme le triangle $ABD$ est isocèle, nous en déduisons que $AD$ est inférieur à $AB$ et donc $AD=BD$. Ainsi $\widehat{ABD}=\widehat{DAB}=\widehat{CAB}$. Donc

$2\widehat{CAB} +\widehat{BDA} = 180^\circ$

$2\widehat{CAB} = 180^\circ -\widehat{BDA}$

$2\widehat{CAB} = 180^\circ -(180^\circ-\widehat{CDB})$

$2\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$

$\widehat{CAB} = \frac{\widehat{BCA}}{2}.$

En revenant au triangle $ABC$ on a $180^\circ= 2\widehat{BCA} +\frac{1}{2}\widehat{BCA}$ ce qui implique $\widehat{BCA}=\frac{2\times 180^\circ}{5}=72^\circ$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2015, 2ème défi

    le 16 juillet 2015 à 19:18, par Daniate

    Il serait fâcheux qu’aucune réponse ne soit proposée.

    On ne peut continuer que par 5 puis 5.

    Répondre à ce message

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