Un défi par semaine

Juillet 2015, 3e défi

Le 17 juillet 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 29 :

Combien de nombres à trois chiffres sont divisibles par $45$ et sont tels que leurs chiffres, mis dans un ordre donné, forment une progression arithmétique ?

Solution du 2ème défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est seulement $2$ nombres.

Supposons que nous puissions ajouter au moins trois nombres de plus, que nous nommerons $a$, $b$ et $c$. La somme des six nombres avant $a$ est

$2\times(-13)+4\times5=-6,$

ainsi $a$ doit être égal à $5$ pour que la somme soit de $-1$. De plus, la somme des onze nombres jusqu’à $a$ est $3\times(-13)+8\times 5 =1$, ce qui confirme que $a$ doit bien être égal à $5$. De la même manière, la somme des six nombres avant $b$ est $-6$, $b$ doit donc aussi être égal à $5$ et nous pouvons vérifier à nouveau que la somme des onze nombres jusqu’à $b$ est bien $1$.

Pour finir, la somme des six nombres avant $c$ est $5\times5+(-13)=12$, ce qui implique une valeur pour $c$ de $-13$ mais la somme des dix derniers nombres avant $c$ étant de $3\times(-13)+7\times5=-4$, $c$ devrait pour cela prendre la valeur $5$. Comme $c$ ne peut être $5$ et $-13$ à la fois, il n’est plus possible d’ajouter d’autres nombres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2015, 3ème défi

    le 17 juillet 2015 à 13:18, par zgreudz

    J’en ai trouvé 3 :

    In[1] := FromDigits /@
    Select[IntegerDigits /@
    Select[
    Range[100, 999], Divisible[#, 45] &],
    (Mean[#] - #[ [ 2] ]) == 0 &]

    Out[1]= 135, 630, 765

    Répondre à ce message
  • Juillet 2015, 3ème défi

    le 17 juillet 2015 à 14:10, par Bernard Hanquez

    J’en trouve six : 135, 315, 360, 630, 675 et 765

    Répondre à ce message
    • Juillet 2015, 3ème défi

      le 17 juillet 2015 à 21:48, par zgreudz

      Ha oui ! Moi je n’ai considéré que l’ordre de gauche à droite (ou de droite a gauche) donc tels que le chiffre central est la moyenne des chiffres extrêmes...mais en relisant l’énoncé je crois que votre point de vue est le bon.

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM