Un défi par semaine

Juillet 2015, 5e défi

Le 31 juillet 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

On considère un nombre à deux chiffres et on multiplie les deux chiffres. Si le résultat est un nombre à un chiffre, on l’appelle l’« image » du nombre de départ. Si le résultat est un nombre à deux chiffres, on répète l’opération jusqu’à obtenir un nombre à un chiffre qui sera son « image ». Combien de nombres à deux chiffres ont pour « image » $8$ ?

Solution du 4ème défi de Juillet :

Enoncé

La somme des neuf nombres est $1+2+\cdots+9=45$. Appelons les nombres dans le tableau comme dans la figure ci-dessous. Alors la moyenne des nombres dans chaque ligne et colonne doit être égale à $i$.

PNG - 13.8 ko

Comme les colonnes ont la même moyenne on a

$a+b+c=d+e+f=\frac{3}{2}(g+h)=3i.$

On a alors

$i = 45-(a+b+c+d+e+f+g+h)$

$ = 45-(3i+3i+2i)$

$ = 45-8i,$

d’où $i=5$. Il nous faut donc deux triplets de nombres $(a,b,c)$ et $(d,e,f)$ disjoints et tels que, pour chaque triplet, la somme de ses éléments soit égale à $3i=15$. Donc $(a,b,c)$ et $(d,e,f)$ sont égaux à $(9,4,2)$ et $(8,6,1)$ dans un certain ordre. Avec ceci nous pouvons remplir le tableau :

PNG - 14.2 ko

Cette solution n’est pas unique.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2015, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2015, 5ème défi

    le 31 juillet 2015 à 19:59, par Bernard Hanquez

    Une petite macro Excel me donne également 22.

    Répondre à ce message

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