Un défi par semaine

Juillet 2016, 1er défi

1er juillet 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 27 :

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a \neq b$ et $\dfrac{a+b}{a-b}+ \dfrac{a-b}{a+b}=6$. Trouver la valeur de :

$\dfrac{a^3+b^3}{a^3-b^3}+\dfrac{a^3-b^3}{a^3+b^3}$.

Solution du 4e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est oui.

Si l’un des chiffres est pair, alors Daniel peut former deux nombres pairs, en plaçant ce chiffre pair au rang des unités de chaque nombre. Nous avons ainsi au moins $2$ comme diviseur commun.

Si l’un des chiffres est égal à $5$, alors Daniel peut former deux nombres divisibles par $5$ en plaçant de la même façon ce chiffre $5$ au rang des unités.

Si deux des quatre chiffres sont les mêmes, alors Daniel peut former un nombre arbitraire et échanger les deux feuilles avec les mêmes chiffres pour obtenir le même nombre. Le plus grand diviseur commun sera alors ce nombre.

Le seul cas restant est lorsque les chiffres sont différents entre eux, impairs et différents de $5$, c’est-à-dire $1$, $3$, $7$ et $9$. Daniel peut alors former les nombres $1397$ et $1793$ dont le plus grand diviseur commun est $11$. Nous voyons donc que, quels que soient les chiffres écrits sur les feuilles, Daniel peut former deux nombres dont le plus grand diviseur commun soit supérieur à 1.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2016, 1er défi

    le 1er juillet à 07:24, par Lina

  • Juillet 2016, 1er défi

    le 1er juillet à 15:55, par Kamakor

    Petit indice : a^6 + b^6=(a^2 + b^2)(a^4 - a^2.b^2 + b^4)
    a^6 - b^6=(a^2 - b^2)(a^4 + a^2.b^2 + b^4)

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  • Juillet 2016, 1er défi

    le 1er juillet à 16:52, par Al_louarn

    Définissons $f(x,y) = \dfrac{x+y}{x-y} + \dfrac{x-y}{x+y}$ pour tous réels $x \neq y$.
    Alors $f(x,y) = \dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = 2\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$.
    Ainsi $f(a^3,b^3)=2\dfrac{a^6+b^6}{a^6-b^6}$.
    On a aussi $f(a,b)=2\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=6$, qui se simplifie en $a^2=2b^2$, d’où $a^6=8b^6$.
    Donc $f(a^3,b^3)=2\dfrac{8b^6+b^6}{8b^6-b^6}=\dfrac{18}{7}$.

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    • Juillet 2016, 1er défi

      le 1er juillet à 18:12, par Al_louarn

      On peut généraliser :
      $f(x^n,y^n)=2\dfrac{x^{2n}+y^{2n}}{x^{2n}-y^{2n}}$.
      En divisant le numérateur et le dénominateur par $y^{2n}$ on obtient :
      $f(x^n,y^n)=2\dfrac{q^n+1}{q^n-1}$, avec $q=(\dfrac{x}{y})^2$.

      Il suffit ensuite de calculer $q$ à partir de $f(x,y)$.
      Partant de $f(x,y)=2\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$, on obtient :
      $(x^2-y^2)f(x,y)=2(x^2+y^2)$
      $(f(x,y)-2)x^2=(f(x,y)+2)y^2$
      $(\dfrac{x}{y})^2=\dfrac{f(x,y)+2}{f(x,y)-2}$

      Par exemple avec $f(a,b)=6$ on trouve $q=2$, et donc $f(a^n,b^n)=2\dfrac{2^n+1}{2^n-1}$.

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  • Juillet 2016, 1er défi

    le 2 juillet à 01:08, par Lina

    Un peu d’algèbre ne fait pas de mal. L’expression de départ après réduction au même dénominateur, et après l’utilisation de l’égalité du parallélogramme ((x+y)²+(x-y)²=2x²+2y²) donne a²=2b² et donc a^3=2sqr(2)b^3 ou -2sqr(2)b^3 mais la symétrie de la formule permet de négliger le signe -. Après la simplification par b^3 on recommence le même calcul pour obtenir 18/7. Dans le cas général a^n=(sqr(2)^n)b^n et après la simplification par b^n, et toujours la même procédure on retrouve la formule d’Al_louarn. Si on remplace 6 par un réel p la formule au rang n devient 2((p+2)^n+(p-2)^n)/((p+2)^n-(p-2)^n) ce qui prouve que quand n tend vers +infini quel que soit p> 2 l’expression tend vers 2. p entre -2 et 2 donne des solutions intéressantes.

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  • Juillet 2016, 1er défi

    le 2 juillet à 01:08, par Lina

    Un peu d’algèbre ne fait pas de mal. L’expression de départ après réduction au même dénominateur, et après l’utilisation de l’égalité du parallélogramme ((x+y)²+(x-y)²=2x²+2y²) donne a²=2b² et donc a^3=2sqr(2)b^3 ou -2sqr(2)b^3 mais la symétrie de la formule permet de négliger le signe -. Après la simplification par b^3 on recommence le même calcul pour obtenir 18/7. Dans le cas général a^n=(sqr(2)^n)b^n et après la simplification par b^n, et toujours la même procédure on retrouve la formule d’Al_louarn. Si on remplace 6 par un réel p la formule au rang n devient 2((p+2)^n+(p-2)^n)/((p+2)^n-(p-2)^n) ce qui prouve que quand n tend vers +infini quel que soit p> 2 l’expression tend vers 2. p entre -2 et 2 donne des solutions intéressantes.

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  • Juillet 2016, 1er défi

    le 4 juillet à 10:20, par Guy B.

    En divisant des les numérateurs et dénominateurs par b (sous la condition b non nul)
    l’équation (a+b)/(a-b)+(a-b)/(a+b)=6 peut se mettre sous la forme (x-1)/(x+1)+(x+1)/(x-1)=6
    avec x=a/b.

    qui est équivalente à x^2=2

    De manière similaire l’expression (a^3-b^3)/(a^3+b^3)+(a^3+b^3)/(a^3-b^3) devient (x^3-1)/(x^3+1)+(x^3+1)/(x^3-1) que l’on peut évaluer pour les deux valeurs possibles de x.
    On obtient alors deux fois le même résultat 18/7

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