Juillet 2016, 1er défi

Le 1er juillet 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 27 :

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a \neq b$ et $\dfrac{a+b}{a-b}+ \dfrac{a-b}{a+b}=6$. Trouver la valeur de :

$\dfrac{a^3+b^3}{a^3-b^3}+\dfrac{a^3-b^3}{a^3+b^3}$.

Solution du 4e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est oui.

Si l’un des chiffres est pair, alors Daniel peut former deux nombres pairs, en plaçant ce chiffre pair au rang des unités de chaque nombre. Nous avons ainsi au moins $2$ comme diviseur commun.

Si l’un des chiffres est égal à $5$, alors Daniel peut former deux nombres divisibles par $5$ en plaçant de la même façon ce chiffre $5$ au rang des unités.

Si deux des quatre chiffres sont les mêmes, alors Daniel peut former un nombre arbitraire et échanger les deux feuilles avec les mêmes chiffres pour obtenir le même nombre. Le plus grand diviseur commun sera alors ce nombre.

Le seul cas restant est lorsque les chiffres sont différents entre eux, impairs et différents de $5$, c’est-à-dire $1$, $3$, $7$ et $9$. Daniel peut alors former les nombres $1397$ et $1793$ dont le plus grand diviseur commun est $11$. Nous voyons donc que, quels que soient les chiffres écrits sur les feuilles, Daniel peut former deux nombres dont le plus grand diviseur commun soit supérieur à 1.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Juillet 2016, 1er défi

le 2 juillet 2016 à 01:08, par Lina

Un peu d’algèbre ne fait pas de mal. L’expression de départ après réduction au même dénominateur, et après l’utilisation de l’égalité du parallélogramme ((x+y)²+(x-y)²=2x²+2y²) donne a²=2b² et donc a^3=2sqr(2)b^3 ou -2sqr(2)b^3 mais la symétrie de la formule permet de négliger le signe -. Après la simplification par b^3 on recommence le même calcul pour obtenir 18/7. Dans le cas général a^n=(sqr(2)^n)b^n et après la simplification par b^n, et toujours la même procédure on retrouve la formule d’Al_louarn. Si on remplace 6 par un réel p la formule au rang n devient 2((p+2)^n+(p-2)^n)/((p+2)^n-(p-2)^n) ce qui prouve que quand n tend vers +infini quel que soit p> 2 l’expression tend vers 2. p entre -2 et 2 donne des solutions intéressantes.
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