Un défi par semaine

Juillet 2016, 2e défi

Le 8 juillet 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 28 :

Chaque sommet d’un pentagone doit être mis en couleur. Nous disposons de $6$ couleurs différentes. Chaque diagonale doit avoir deux couleurs différentes à ses extrémités. Si nous ne prenons pas en compte les coloriages qui s’obtiennent l’un de l’autre par rotation, de combien de manières différentes peut-on colorier les sommets du pentagone ?

Solution du 1er défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $\frac{18}{7}$.

L’égalité

$6=\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}$

implique que $6a^2-6b^2=2a^2+2b^2$ ou $a^2=2b^2$. Nous avons donc $(a^2)^3=a^6=8b^6$, ainsi

$\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}+\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3} = \frac{2a^6+2b^6}{a^6-b^6}$

$= \frac{18b^6}{7b^6}$

$ = \frac{18}{7}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2016, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2016, 2e défi

    le 9 juillet 2016 à 00:44, par skilveg

    Je trouve le même résultat de la façon suivante : l’ensemble des sommets est partitionné par les couleurs, ce qui fournit une partition de l’entier 5. On peut commencer par filtrer selon le type de cette partition :
    * type (1,1,1,1,1) : tous les sommets sont de couleurs différentes, et le nombre de possibilités est $A_5^6$ (choix des couleurs) / $5$ (quotient par les rotations) ;
    * type (2,1,1,1) : tous les sommets sont de couleurs distinctes sauf 2, qui sont sur une même arête du pentagone. Cette arête fixe la position du pentagone. Il y a $A_4^6$ possibilités, puisque quatre groupes de couleurs différentes ;
    * type (2,2,1) : deux arêtes dont les sommets sont de la même couleur, et un cinquième sommet d’une couleur différente. La position est fixe, il y a trois groupes de couleurs différentes, d’où $A_3^6$ possibilités.
    * types (3,...) : impossible car parmi trois sommets, deux au moins sont sur une même diagonale.

    Au final cela donne $6\cdot 4\cdot 3\cdot 2 + 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 + 6\cdot 5\cdot 4 = 624$ configurations.

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