Enoncé

La réponse est $624$ coloriages.

Il n’existe pas de coloriage avec moins de $3$ couleurs. Avec $3$ couleurs il y a qu’une façon de colorier le pentagone : deux paires de sommets adjacents d’une couleur chaque paire, et le dernier sommet de la troisième couleur; car nous ne prenons pas en compte les coloriages qui s’obtiennent l’un de l’autre par rotation. On représente ceci par $aabcc$, avec $a, b$ et $c$ les trois couleurs choisies parmi les six disponibles. Donc pour chaque choix de trois couleurs il y a une seule façon de colorier le pentagone. Pour choisir la couleur $a$ on a 6 possibilités, pour $b$ on en a 5 et pour $c$ on en a 4, donc on obtient $6 \times 5 \times 4 = 120$ colorations du pentagone avec trois couleurs.

D’une façon analogue, si nous avons $4$ couleurs, il y a une couleur utilisée pour deux sommets forcément adjacents. Donc le pentagone sera colorié de manière $aabcd$. Nous avons $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ possibilités pour choisir les quatre couleurs, donc $360$ coloriages possibles.

Finalement, le coloriage avec $5$ couleurs nous donne $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 6! = 720$ possibilités. Mais attention, l’arrangement $abcde$ est équivalent par exemple à $bcdea$, il s’agit d’une simple rotation. Nous devons donc diviser par $5$ les possibilités, soit $\frac{720}{5}=144$ coloriages possibles.

Au total cela fait $120+360+144=624$ manières différentes de colorier ce pentagone.