Un défi par semaine

Juillet 2016, 3e défi

Le 15 juillet 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 29 :

Le demi-cercle a son diamètre sur le côté du triangle et est tangent aux deux autres côtés de ce triangle. Quelle est la longueur de son rayon ?

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Solution du 2e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $624$ coloriages.

Il n’existe pas de coloriage avec moins de $3$ couleurs. Avec $3$ couleurs il y a qu’une façon de colorier le pentagone : deux paires de sommets adjacents d’une couleur chaque paire, et le dernier sommet de la troisième couleur ; car nous ne prenons pas en compte les coloriages qui s’obtiennent l’un de l’autre par rotation. On représente ceci par $aabcc$, avec $a, b$ et $c$ les trois couleurs choisies parmi les six disponibles. Donc pour chaque choix de trois couleurs il y a une seule façon de colorier le pentagone. Pour choisir la couleur $a$ on a 6 possibilités, pour $b$ on en a 5 et pour $c$ on en a 4, donc on obtient $6 \times 5 \times 4 = 120$ colorations du pentagone avec trois couleurs.

D’une façon analogue, si nous avons $4$ couleurs, il y a une couleur utilisée pour deux sommets forcément adjacents. Donc le pentagone sera colorié de manière $aabcd$. Nous avons $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ possibilités pour choisir les quatre couleurs, donc $360$ coloriages possibles.

Finalement, le coloriage avec $5$ couleurs nous donne $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 6! = 720$ possibilités. Mais attention, l’arrangement $abcde$ est équivalent par exemple à $bcdea$, il s’agit d’une simple rotation. Nous devons donc diviser par $5$ les possibilités, soit $\frac{720}{5}=144$ coloriages possibles.

Au total cela fait $120+360+144=624$ manières différentes de colorier ce pentagone.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2016, 3e défi

    le 15 juillet 2016 à 20:18, par Daniate

    Bonsoir, il suffit de compléter la figure par symétrie horizontale pour que le demi-cercle devienne cercle inscrit dans un triangle 5,5,6 et votre formule fera le reste. Si on aime se compliquer la vie on peut aussi utiliser la formule tan(2x)=2tan(x)/(1-tan²(x)) appliquée à l’angle supérieur et sa bissectrice. Je suppose qu’il existe d’autres démonstrations donc le défi reste grand ouvert.

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