Commentaire sur l'article

• Juillet 2016, 4e défi

  le 22 juillet 2016 à 08:41, par mesmaker

  Je propose pas de solutions ou, si vous acceptez de dire que 1 est un nombre premier, je trouve 5, 3, 2 pour p, q, r avec leur différence 3, 2, 1.

  Lorsque vous en cherchez d’autres vous vous rendez vite compte que la seul différence possible entre deux nombres premiers qui soit lui-même un nombre premier est le nombre 2. Ce qui implique que les trois nombres premiers p, q, r, sont des nombres premiers jumeaux. Mais alors la différence de p-r vaut 4 qui n’est pas un nombre premier donc pas de possibilité.

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• Juillet 2016, 4e défi

  le 23 juillet 2016 à 08:33, par mesmaker

  Au temps pour moi, je n’ai simplement montré que le triplet ne pouvait que commencer par 2 et que le triplet ne pouvait s’écrire que sous la forme (2, p, p+2) avec p premier. Le post suivant montre bien que seul p=3 est alors correct et fournit l’unique solution 2, 5, 7.

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• Juillet 2016, 4e défi

  le 22 juillet 2016 à 08:42, par Al_louarn

  L’écart entre deux nombres premiers non consécutifs est au moins $3$, donc $p-r \geq 3$. Comme le seul nombre premier pair est $2$ il s’ensuit que $p-r$ est impair. Donc $r=2$, et $p$ et $q$ sont impairs.
  Alors $p-q$ est pair. Comme c’est aussi un nombre premier, ça ne peut être que $2$.
  De plus $p-2$ est premier donc on a un triplet de nombres premiers impairs consécutifs : $q-2, q, q+2$.
  Or dans un triplet de nombres impairs consécutifs il y a toujours un multiple de $3$. Le seul qui soit premier est donc $3$ lui-même.
  Où se trouve $3$ dans le triplet ? Pas en $q$ ni en $q+2$ car il faudrait que $3-2=1$ soit premier.
  Donc $3=q-2$ et on en tire l’unique solution : $p=7, q=5, r=2$.

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• Juillet 2016, 4e défi

  le 22 juillet 2016 à 11:42, par orion8

  « De plus $q-2$ est premier » ?

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• Juillet 2016, 4e défi

  le 22 juillet 2016 à 11:51, par Al_louarn

  L’énoncé nous dit que $q-r$ est premier et j’ai montré que $r=2$.

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• Juillet 2016, 4e défi

  le 22 juillet 2016 à 11:59, par orion8

  On est bien d’accord. Mais vous écrivez « De plus $p-2$ est premier » (ce qui n’est pas faux, d’ailleurs).
  Au passage, jolie démonstration !

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• Juillet 2016, 4e défi

  le 22 juillet 2016 à 11:57, par Al_louarn

  Ah pardon je n’avais pas compris votre question, c’est effectivement « De plus $q-2$ est premier » que je voulais écrire. Merci.

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