Un défi par semaine

Juillet 2016, 4e défi

Le 22 juillet 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 30 :

Trouver les nombres premiers $p$, $q$ et $r$ tels que $p>q>r$ et que les nombres $p-q$, $p-r$ et $q-r$ soient aussi premiers.

Solution du 3e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $1{,}5$ cm.

Appelons $T$ le point où le demi-cercle est tangent au côté $[AC]$ et $O$ le centre du cercle de rayon $r$. Les triangles $AOB$ et $AOT$ sont superposables puisque $\widehat{ABO}=\widehat{ATO} = 90^\circ$, qu’ils possèdent tous les deux un côté qui mesure $r$ et qu’ils ont un autre côté en commun. Donc $AT= AB=3$ cm et $TC= 5-3=2$ cm.

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Les triangles $OTC$ et $ABC$ sont semblables puisqu’ils ont en commun l’angle en $C$ et qu’ils ont tous les deux un angle droit. Donc

$\frac{2}{4}=\frac{TC}{BC}=\frac{OT}{AB}=\frac{r}{3}.$

D’où $r=\frac{3}{2}=1{,}5$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2016, 4e défi

    le 22 juillet à 08:41, par mesmaker

    Je propose pas de solutions ou, si vous acceptez de dire que 1 est un nombre premier, je trouve 5, 3, 2 pour p, q, r avec leur différence 3, 2, 1.

    Lorsque vous en cherchez d’autres vous vous rendez vite compte que la seul différence possible entre deux nombres premiers qui soit lui-même un nombre premier est le nombre 2. Ce qui implique que les trois nombres premiers p, q, r, sont des nombres premiers jumeaux. Mais alors la différence de p-r vaut 4 qui n’est pas un nombre premier donc pas de possibilité.

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    • Juillet 2016, 4e défi

      le 23 juillet à 08:33, par mesmaker

      Au temps pour moi, je n’ai simplement montré que le triplet ne pouvait que commencer par 2 et que le triplet ne pouvait s’écrire que sous la forme (2, p, p+2) avec p premier. Le post suivant montre bien que seul p=3 est alors correct et fournit l’unique solution 2, 5, 7.

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  • Juillet 2016, 4e défi

    le 22 juillet à 08:42, par Al_louarn

    L’écart entre deux nombres premiers non consécutifs est au moins $3$, donc $p-r \geq 3$. Comme le seul nombre premier pair est $2$ il s’ensuit que $p-r$ est impair. Donc $r=2$, et $p$ et $q$ sont impairs.
    Alors $p-q$ est pair. Comme c’est aussi un nombre premier, ça ne peut être que $2$.
    De plus $p-2$ est premier donc on a un triplet de nombres premiers impairs consécutifs : $q-2, q, q+2$.
    Or dans un triplet de nombres impairs consécutifs il y a toujours un multiple de $3$. Le seul qui soit premier est donc $3$ lui-même.
    Où se trouve $3$ dans le triplet ? Pas en $q$ ni en $q+2$ car il faudrait que $3-2=1$ soit premier.
    Donc $3=q-2$ et on en tire l’unique solution : $p=7, q=5, r=2$.

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    • Juillet 2016, 4e défi

      le 22 juillet à 11:42, par orion8

      « De plus $q-2$ est premier » ?

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      • Juillet 2016, 4e défi

        le 22 juillet à 11:51, par Al_louarn

        L’énoncé nous dit que $q-r$ est premier et j’ai montré que $r=2$.

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        • Juillet 2016, 4e défi

          le 22 juillet à 11:59, par orion8

          On est bien d’accord. Mais vous écrivez « De plus $p-2$ est premier » (ce qui n’est pas faux, d’ailleurs).
          Au passage, jolie démonstration !

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      • Juillet 2016, 4e défi

        le 22 juillet à 11:57, par Al_louarn

        Ah pardon je n’avais pas compris votre question, c’est effectivement « De plus $q-2$ est premier » que je voulais écrire. Merci.

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